Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.martinawagner
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -1,7 +1,172 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4		-[[Kompetenzen.K5]]; [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
	4	+[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	9	+(%class=abc%)
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	+{{/aufgabe}}
6	6
	14	+{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	15	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
7	7
	17	+{{formula}}
	18	+d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	19	+{{/formula}}
	20	+
	21	+(%class=abc%)
	22	+1. (((
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	24	+
	25	+Zeige dazu:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	29	+{{/formula}}
	30	+
	31	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	32	+)))
	33	+1. (((
	34	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	35	+
	36	+{{formula}}
	37	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	38	+{{/formula}}
	39	+
	40	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	41	+)))
	42	+1. (((
	43	+Untersuche die Gleichheitsfälle:
	44	+
	45	+* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
	46	+* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
	47	+
	48	+Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
	49	+)))
	50	+1. (((
	51	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	52	+
	53	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	54	+)))
	55	+1. (((
	56	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
	57	+
	58	+{{formula}}
	59	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	60	+{{/formula}}
	61	+
	62	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
	63	+)))
	64	+{{/aufgabe}}
	65	+
	66	+{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	67	+Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	68	+
	69	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	70	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	71	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	72	+beschrieben.
	73	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	74	+
	75	+(%class=abc%)
	76	+1. (((
	77	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	78	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	79	+
	80	+Markiere in deiner Skizze:
	81	+* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	82	+* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	83	+* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	84	+)))
	85	+1. (((
	86	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	87	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	88	+)))
	89	+1. (((
	90	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	91	+Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	92	+)))
	93	+1. (((
	94	+Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	95	+)))
	96	+1. (((
	97	+Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	98	+
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
	101	+1. (((
	102	+Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	103	+
	104	+Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	105	+)))
	106	+{{/aufgabe}}
	107	+
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien zwei Geraden
	110	+
	111	+{{formula}}
	112	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	113	+{{/formula}}
	114	+
	115	+und
	116	+
	117	+{{formula}}
	118	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	119	+{{/formula}}
	120	+
	121	+Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
	122	+
	123	+(%class=abc%)
	124	+1. (((
	125	+Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
	126	+
	127	+Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
	128	+* Punkt – Punkt
	129	+* Punkt – Gerade
	130	+* Punkt – Ebene
	131	+)))
	132	+1. (((
	133	+Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	134	+
	135	+Gib diese Ebene in Parameterform an.
	136	+)))
	137	+1. (((
	138	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	139	+)))
	140	+1. (((
	141	+Begründe die Rückführung
	142	+
	143	+{{formula}}
	144	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	145	+{{/formula}}
	146	+
	147	+Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
	148	+)))
	149	+1. (((
	150	+Begründe anschließend die Rückführung
	151	+
	152	+{{formula}}
	153	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	154	+{{/formula}}
	155	+
	156	+Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
	157	+)))
	158	+1. (((
	159	+Formuliere die vollständige Rückführung:
	160	+
	161	+{{formula}}
	162	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
	163	+{{/formula}}
	164	+
	165	+Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
	166	+)))
	167	+1. (((
	168	+Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	169	+
	170	+Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
	171	+)))
	172	+{{/aufgabe}}