Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (2 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -3,5 +3,166 @@
3	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	9	+(%class=abc%)
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
	13	+{{/aufgabe}}
6	6
	15	+{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	16	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
7	7
	18	+{{formula}}
	19	+d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	20	+{{/formula}}
	21	+
	22	+(%class=abc%)
	23	+1. (((
	24	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	25	+
	26	+Zeige dazu:
	27	+
	28	+{{formula}}
	29	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	30	+{{/formula}}
	31	+
	32	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	33	+)))
	34	+1. (((
	35	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	36	+
	37	+{{formula}}
	38	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	39	+{{/formula}}
	40	+
	41	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	42	+)))
	43	+1. (((
	44	+Untersuche die Gleichheitsfälle:
	45	+
	46	+* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
	47	+* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
	48	+
	49	+Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
	50	+)))
	51	+1. (((
	52	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	53	+
	54	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	55	+)))
	56	+1. (((
	57	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
	58	+
	59	+{{formula}}
	60	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	61	+{{/formula}}
	62	+
	63	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
	64	+)))
	65	+{{/aufgabe}}
	66	+
	67	+{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	68	+Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	69	+
	70	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	71	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	72	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	73	+beschrieben.
	74	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	75	+
	76	+(%class=abc%)
	77	+1. (((
	78	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	79	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	80	+
	81	+Markiere in deiner Skizze:
	82	+* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	83	+* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	84	+* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	85	+)))
	86	+1. (((
	87	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	88	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	89	+)))
	90	+1. (((
	91	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	92	+Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	93	+)))
	94	+1. (((
	95	+Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	96	+)))
	97	+1. (((
	98	+Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	99	+
	100	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	101	+)))
	102	+1. (((
	103	+Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	104	+
	105	+Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	106	+)))
	107	+{{/aufgabe}}
	108	+
	109	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	110	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
	111	+
	112	+{{formula}}
	113	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	114	+{{/formula}}
	115	+
	116	+und
	117	+
	118	+{{formula}}
	119	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	120	+{{/formula}}
	121	+
	122	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
	123	+
	124	+(%class=abc%)
	125	+1. (((
	126	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	127	+
	128	+Zeige, dass die Ebene
	129	+
	130	+{{formula}}
	131	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	132	+{{/formula}}
	133	+
	134	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	135	+)))
	136	+1. (((
	137	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	138	+)))
	139	+1. (((
	140	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	141	+
	142	+{{formula}}
	143	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	144	+{{/formula}}
	145	+)))
	146	+1. (((
	147	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	148	+
	149	+{{formula}}
	150	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	151	+{{/formula}}
	152	+)))
	153	+1. (((
	154	+Fasse die Rückführung zusammen:
	155	+
	156	+{{formula}}
	157	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	158	+{{/formula}}
	159	+
	160	+mit
	161	+
	162	+{{formula}}
	163	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	164	+{{/formula}}
	165	+
	166	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	167	+)))
	168	+{{/aufgabe}}