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Version 12.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 16:48
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
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6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
10 (%class=abc%)
11 1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
12 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
13 {{/aufgabe}}
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15 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
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18 {{formula}}
19 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
20 {{/formula}}
21
22 (%class=abc%)
23 1. (((
24 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
25
26 Zeige dazu:
27
28 {{formula}}
29 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
30 {{/formula}}
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32 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
33 )))
34 1. (((
35 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
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37 {{formula}}
38 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
39 {{/formula}}
40
41 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
42 )))
43 1. (((
44 Untersuche die Gleichheitsfälle:
45
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
47 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
48
49 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
50 )))
51 1. (((
52 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
53
54 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
55 )))
56 1. (((
57 Formuliere eine allgemeine Aussage:
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59 {{formula}}
60 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
61 {{/formula}}
62
63 Erläutere diese Aussage geometrisch.
64 )))
65 {{/aufgabe}}