Wiki-Quellcode von BPE 16.6 Abstände und Volumina

Version 15.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 17:07

version	line-number	content
1.1	1	{{seiteninhalt/}}
	2
8.1	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
8.2	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
2.1	5
9.1	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	{{formula}}P(1\|3\|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1\|5\|3){{/formula}}
	9	(%class=abc%)
12.2	10	1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
9.1	11	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	{{/aufgabe}}
2.1	13
10.1	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
14.1	15	Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
10.1	16
11.1	17	{{formula}}
	18	d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	19	{{/formula}}
	20
10.1	21	(%class=abc%)
11.1	22	1. (((
	23	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
10.1	24
11.1	25	Zeige dazu:
	26
10.1	27	{{formula}}
11.1	28	\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
10.1	29	{{/formula}}
	30
11.1	31	und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
10.1	32	)))
11.1	33	1. (((
	34	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	35
10.1	36	{{formula}}
11.1	37	d(P;M)=\min\{\,\|\overrightarrow{PX}\| \mid X \in M\,\}.
10.1	38	{{/formula}}
	39
11.1	40	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
10.1	41	)))
11.1	42	1. (((
	43	Untersuche die Gleichheitsfälle:
	44
	45	* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
	46	* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
	47
10.1	48	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
	49	)))
11.1	50	1. (((
	51	Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	52
	53	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	54	)))
	55	1. (((
	56	Formuliere eine allgemeine Aussage:
	57
10.1	58	{{formula}}
	59	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	60	{{/formula}}
	61
11.1	62	Erläutere diese Aussage geometrisch.
	63	)))
10.1	64	{{/aufgabe}}
13.1	65
	66	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	67	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	68
	69	Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	70	Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	71	{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	72	beschrieben.
	73	Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	74
	75	(%class=abc%)
	76	1. (((
	77	Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	78	Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	79
	80	Markiere in deiner Skizze:
	81	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	82	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	83	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	84	)))
	85	1. (((
	86	Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	87	Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	88	)))
	89	1. (((
	90	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	91	Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	92	)))
	93	1. (((
	94	Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	95	)))
	96	1. (((
	97	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	98
	99	Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	)))
	101	1. (((
	102	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	103
	104	Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	105	)))
	106	{{/aufgabe}}
14.1	107
15.1	108	{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
14.1	110
15.1	111	Betrachtet werden die Abstände
14.1	112
	113	{{formula}}
15.1	114	d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
14.1	115	{{/formula}}
	116
	117	(%class=abc%)
	118	1. (((
15.1	119	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
14.1	120	)))
	121	1. (((
15.1	122	Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
14.1	123
	124	{{formula}}
15.1	125	d(P;M)=\min\{\,\|\overrightarrow{PX}\| \mid X\in M\,\}.
14.1	126	{{/formula}}
	127
15.1	128	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
14.1	129	)))
	130	1. (((
15.1	131	Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
14.1	132
15.1	133	Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
14.1	134	)))
	135	1. (((
15.1	136	Erläutere allgemein:
14.1	137
	138	{{formula}}
15.1	139	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
14.1	140	{{/formula}}
	141
15.1	142	Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
14.1	143	)))
	144	{{/aufgabe}}

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