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Version 21.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 17:28
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 8.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
Holger Engels 8.2 4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
akukin 2.1 5
Dirk Tebbe 9.1 6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 19.1 10 1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
Dirk Tebbe 9.1 11 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
Martin Rathgeb 18.1 12 1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
Dirk Tebbe 9.1 13 {{/aufgabe}}
akukin 2.1 14
Martin Rathgeb 10.1 15 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 16 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 17
Martin Rathgeb 11.1 18 {{formula}}
19 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
20 {{/formula}}
21
Martin Rathgeb 10.1 22 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 23 1. (((
24 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
Martin Rathgeb 10.1 25
Martin Rathgeb 11.1 26 Zeige dazu:
27
Martin Rathgeb 10.1 28 {{formula}}
Martin Rathgeb 11.1 29 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
Martin Rathgeb 10.1 30 {{/formula}}
31
Martin Rathgeb 11.1 32 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 33 )))
Martin Rathgeb 11.1 34 1. (((
35 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
36
Martin Rathgeb 10.1 37 {{formula}}
Martin Rathgeb 11.1 38 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
Martin Rathgeb 10.1 39 {{/formula}}
40
Martin Rathgeb 11.1 41 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 42 )))
Martin Rathgeb 11.1 43 1. (((
44 Untersuche die Gleichheitsfälle:
45
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
47 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
48
Martin Rathgeb 10.1 49 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
50 )))
Martin Rathgeb 11.1 51 1. (((
52 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
53
54 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
55 )))
56 1. (((
57 Formuliere eine allgemeine Aussage:
58
Martin Rathgeb 10.1 59 {{formula}}
60 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
61 {{/formula}}
62
Martin Rathgeb 11.1 63 Erläutere diese Aussage geometrisch.
64 )))
Martin Rathgeb 10.1 65 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 66
67 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
68 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
69
70 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
71 Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
72 {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
73 beschrieben.
74 Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
75
76 (%class=abc%)
77 1. (((
78 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
79 Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
80
81 Markiere in deiner Skizze:
82 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
83 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
84 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
85 )))
86 1. (((
87 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
88 Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
89 )))
90 1. (((
91 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
92 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
93 )))
94 1. (((
95 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
96 )))
97 1. (((
98 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
99
Martin Rathgeb 19.1 100 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 101 1. (((
102 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103
104 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105 )))
106 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 107
Martin Rathgeb 16.1 108 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 109 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 110
Martin Rathgeb 19.1 111 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 112
113 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 21.1 114 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
Martin Rathgeb 16.1 115
116 Zeige, dass die Ebene
117
118 {{formula}}
119 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
120 {{/formula}}
121
122 die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
123 )))
Martin Rathgeb 21.1 124 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 125 )))
Martin Rathgeb 21.1 126 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
Martin Rathgeb 16.1 127
128 {{formula}}
129 d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
130 {{/formula}}
131 )))
Martin Rathgeb 21.1 132 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
Martin Rathgeb 16.1 133
134 {{formula}}
135 d(g_2;E)=d(P_2;E).
136 {{/formula}}
137 )))
Martin Rathgeb 21.1 138 1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
Martin Rathgeb 16.1 139
140 {{formula}}
141 d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
142 {{/formula}}
143
144 mit
145
146 {{formula}}
147 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
148 {{/formula}}
149
150 Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
151 )))
152 {{/aufgabe}}