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Version 34.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 11:13
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martin Rathgeb 30.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
Holger Engels 8.2 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
akukin 2.1 6
Martin Rathgeb 33.1 7 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
8 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 9
10 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 33.1 11 1. (((
Martin Rathgeb 34.1 12 Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
Martin Rathgeb 33.1 13 )))
14 1. (((
Martin Rathgeb 34.1 15 Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 16 )))
17 1. (((
18 Ein Mitschüler behauptet:
19
20 „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
21
Martin Rathgeb 34.1 22 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 23 )))
Martin Rathgeb 31.1 24 {{/aufgabe}}
25
Martin Rathgeb 10.1 26 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 27 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 28
Martin Rathgeb 11.1 29 {{formula}}
30 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
31 {{/formula}}
32
Martin Rathgeb 10.1 33 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 34 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 35 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 36 )))
Martin Rathgeb 11.1 37 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 38 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 39 )))
Martin Rathgeb 11.1 40 1. (((
41 Untersuche die Gleichheitsfälle:
42
43 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
44 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
45
Martin Rathgeb 10.1 46 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
47 )))
Martin Rathgeb 11.1 48 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 49 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 50 )))
51 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 52 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 53
Martin Rathgeb 10.1 54 {{formula}}
55 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
56 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 57 )))
Martin Rathgeb 10.1 58 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 59
60 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
61 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
62
Martin Rathgeb 26.1 63 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 64
65 (%class=abc%)
66 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 67 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 68 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
69 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
70 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
71 )))
72 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 73 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 74 )))
75 1. (((
76 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
77 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
78 )))
79 1. (((
80 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
81 )))
82 1. (((
83 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
84
Martin Rathgeb 19.1 85 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 86 1. (((
87 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
88
89 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
90 )))
91 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 92
Martin Rathgeb 16.1 93 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 94 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 95
Martin Rathgeb 19.1 96 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 97
98 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 99 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 100 )))
Martin Rathgeb 21.1 101 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 102 )))
Martin Rathgeb 28.1 103 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 104 )))
Martin Rathgeb 29.1 105 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 106 )))
Martin Rathgeb 28.1 107 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 108 )))
109 {{/aufgabe}}