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Version 41.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 13:21
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martin Rathgeb 30.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
Holger Engels 8.2 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
akukin 2.1 6
Martin Rathgeb 39.1 7 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
Martin Rathgeb 33.1 8 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 9
10 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 39.1 11 1. (((
12 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 13 )))
Martin Rathgeb 39.1 14 1. (((
15 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16
17 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 33.1 18 )))
Martin Rathgeb 39.1 19 1. (((
20 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21 )))
22 1. (((
23 Ein Mitschüler behauptet:
Martin Rathgeb 33.1 24
25 „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
26
Martin Rathgeb 39.1 27 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 28 )))
Martin Rathgeb 31.1 29 {{/aufgabe}}
30
Martin Rathgeb 38.1 31 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
32 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
33
34 {{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
35
36 (%class=abc%)
37 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 38 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 39 )))
40 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 41 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 42
Martin Rathgeb 39.1 43 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 38.1 44 )))
45 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 46 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
Martin Rathgeb 38.1 47 )))
48 {{/aufgabe}}
49
Martin Rathgeb 41.1 50 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade vorbereiten" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
51 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
52
53 {{formula}}
54 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
55 {{/formula}}
56
57 (%class=abc%)
58 1. (((
59 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_t{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
60 )))
61 1. (((
62 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_t}{{/formula}}.
63 )))
64 1. (((
65 Bestimme den Wert von {{formula}}t{{/formula}}, für den der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_t}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht.
66
67 Erläutere, warum der zugehörige Punkt {{formula}}G_t{{/formula}} der Lotfußpunkt von {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} ist.
68 )))
69 {{/aufgabe}}
70
Martin Rathgeb 39.1 71 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
72 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
73
74 {{formula}}
75 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
76 {{/formula}}
77
78 (%class=abc%)
79 1. (((
80 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
81 )))
82 1. (((
83 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
84
85 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
86 )))
87 1. (((
88 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
89 )))
90 {{/aufgabe}}
91
Martin Rathgeb 10.1 92 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 93 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 94
Martin Rathgeb 11.1 95 {{formula}}
96 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
97 {{/formula}}
98
Martin Rathgeb 10.1 99 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 100 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 101 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 102 )))
Martin Rathgeb 11.1 103 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 104 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 105 )))
Martin Rathgeb 11.1 106 1. (((
107 Untersuche die Gleichheitsfälle:
108
109 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
110 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
111
Martin Rathgeb 10.1 112 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
113 )))
Martin Rathgeb 11.1 114 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 115 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 116 )))
117 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 118 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 119
Martin Rathgeb 10.1 120 {{formula}}
121 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
122 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 123 )))
Martin Rathgeb 10.1 124 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 125
126 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
127 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
128
Martin Rathgeb 26.1 129 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 130
131 (%class=abc%)
132 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 133 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 134 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
135 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
136 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
137 )))
138 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 139 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 140 )))
141 1. (((
142 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
143 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
144 )))
145 1. (((
146 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
147 )))
148 1. (((
149 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
150
Martin Rathgeb 19.1 151 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 152 1. (((
153 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
154
155 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
156 )))
157 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 158
Martin Rathgeb 16.1 159 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 160 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 161
Martin Rathgeb 19.1 162 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 163
164 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 165 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 166 )))
Martin Rathgeb 21.1 167 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 168 )))
Martin Rathgeb 28.1 169 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 170 )))
Martin Rathgeb 29.1 171 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 172 )))
Martin Rathgeb 28.1 173 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 174 )))
175 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 176
Dirk Tebbe 39.3 177 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
178 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
179 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
180 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
181 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 38.2 182
Dirk Tebbe 39.3 183 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
184 )))
185 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
Dirk Tebbe 40.1 186 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
Dirk Tebbe 39.3 187 )))
188 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
189 )))
190 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 191