Änderungen von Dokument Lösung Abstand Punkt Punkt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,14 +2,14 @@
1		-{{lösung}}
2	2	(%class=abc%)
3	3
4	4	1. (((
5		- {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
	4	+ {{formula}}
	5	+ \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	6	+ {{/formula}}
6	6
7		-Damit gilt:
8		-
9		-{{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	8	+{{formula}}
	9	+d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
	10	+{{/formula}}
10	10	)))
11		-
12	12	1. (((
13	13	Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
14	14
...	...	@@ -16,62 +16,56 @@
16	16
17	17	Denn jeweils gilt:
18	18
19		-{{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	19	+{{formula}}
	20	+d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
	21	+{{/formula}}
20	20
21	21	Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
22	22	)))
23		-
24	24	1. (((
25	25	Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
26	26
27		-{{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	28	+{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
28	28
29	29	Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
30	30
31	31	{{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
32	32	)))
33		-
34	34	1. (((
35		- Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
	35	+ Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
36	36
37		-Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
	37	+{{formula}}
	38	+\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
	39	+\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	40	+{{/formula}}
38	38
39		-{{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
	42	+{{formula}}
	43	+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
	44	+=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	45	+=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
	46	+{{/formula}}
40	40
41		-mit
42		-
43		-{{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
44		-und
45		-{{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
46		-
47		-Also:
48		-
49		-{{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
50		-=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
51		-
52	52	Damit ist
53	53
54	54	{{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
55	55
56		-Weiter gilt:
	52	+{{formula}}
	53	+\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
	54	+=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
	55	+=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
	56	+{{/formula}}
57	57
58		-{{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
59		-=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
60		-=\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
	58	+{{formula}}
	59	+d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
	60	+{{/formula}}
61	61
62		-Also:
63		-
64		-{{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
65		-
66	66	Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
67	67
68	68	{{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
69	69
70		-Korrekt lautet die Aussage daher:
	66	+Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
71	71
72		-{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	68	+Korrekt lautet:
73	73
74		-Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
	70	+{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
75	75	)))
76		-{{/lösung}}
77		-