Änderungen von Dokument Lösung Abstand Punkt Punkt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,13 +1,14 @@
1	1	(%class=abc%)
2	2
3	3	1. (((
4		- {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
	4	+ {{formula}}
	5	+ \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	6	+ {{/formula}}
5	5
6		-Damit gilt:
7		-
8		-{{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	8	+{{formula}}
	9	+d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
	10	+{{/formula}}
9	9	)))
10		-
11	11	1. (((
12	12	Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
13	13
...	...	@@ -15,60 +15,56 @@
15	15
16	16	Denn jeweils gilt:
17	17
18		-{{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	19	+{{formula}}
	20	+d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
	21	+{{/formula}}
19	19
20	20	Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
21	21	)))
22		-
23	23	1. (((
24	24	Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
25	25
26		-{{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	28	+{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
27	27
28	28	Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
29	29
30	30	{{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
31	31	)))
32		-
33	33	1. (((
34		- Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
	35	+ Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
35	35
36		-Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
	37	+{{formula}}
	38	+\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
	39	+\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	40	+{{/formula}}
37	37
38		-{{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
	42	+{{formula}}
	43	+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
	44	+=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	45	+=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
	46	+{{/formula}}
39	39
40		-mit
41		-
42		-{{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
43		-und
44		-{{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
45		-
46		-Also:
47		-
48		-{{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
49		-=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
50		-
51	51	Damit ist
52	52
53	53	{{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
54	54
55		-Weiter gilt:
	52	+{{formula}}
	53	+\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
	54	+=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
	55	+=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
	56	+{{/formula}}
56	56
57		-{{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
58		-=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
59		-=\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
	58	+{{formula}}
	59	+d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
	60	+{{/formula}}
60	60
61		-Also:
62		-
63		-{{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
64		-
65	65	Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
66	66
67	67	{{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
68	68
69		-Korrekt lautet die Aussage daher:
	66	+Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
70	70
71		-{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	68	+Korrekt lautet:
72	72
73		-Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
	70	+{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
74	74	)))