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Änderungen von Dokument Lösung Abstand Punkt Punkt

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/28 18:50
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/04/28 16:15
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,14 +1,14 @@
1 +{{lösung}}
1 1  (%class=abc%)
2 2  
3 3  1. (((
4 - {{formula}}
5 - \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
6 - {{/formula}}
5 + {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
7 7  
8 -{{formula}}
9 -d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
10 -{{/formula}}
7 +Damit gilt:
8 +
9 +{{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
11 11  )))
11 +
12 12  1. (((
13 13   Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
14 14  
... ... @@ -16,56 +16,62 @@
16 16  
17 17  Denn jeweils gilt:
18 18  
19 -{{formula}}
20 -d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
21 -{{/formula}}
19 +{{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
22 22  
23 23  Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
24 24  )))
23 +
25 25  1. (((
26 26   Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
27 27  
28 -{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
27 +{{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
29 29  
30 30  Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
31 31  
32 32  {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
33 33  )))
33 +
34 34  1. (((
35 - Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
35 + Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
36 36  
37 -{{formula}}
38 -\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
39 -\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
40 -{{/formula}}
37 +Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
41 41  
42 -{{formula}}
43 -\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
44 -=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
45 -=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
46 -{{/formula}}
39 +{{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
47 47  
41 +mit
42 +
43 +{{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
44 +und
45 +{{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
46 +
47 +Also:
48 +
49 +{{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
50 +=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
51 +
48 48  Damit ist
49 49  
50 50  {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
51 51  
52 -{{formula}}
53 -\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
54 -=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
55 -=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
56 -{{/formula}}
56 +Weiter gilt:
57 57  
58 -{{formula}}
59 -d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
60 -{{/formula}}
58 +{{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
59 +=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
60 +=\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
61 61  
62 +Also:
63 +
64 +{{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
65 +
62 62  Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
63 63  
64 64  {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
65 65  
66 -Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
70 +Korrekt lautet die Aussage daher:
67 67  
68 -Korrekt lautet:
69 -
70 70  {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
73 +
74 +Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
71 71  )))
76 +{{/lösung}}
77 +