Änderungen von Dokument Lösung Abstand Punkt Punkt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,14 +1,13 @@
1	1	(%class=abc%)
2	2
3	3	1. (((
4		- {{formula}}
5		- \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
6		- {{/formula}}
	4	+ {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
7	7
8		-{{formula}}
9		-d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
10		-{{/formula}}
	6	+Damit gilt:
	7	+
	8	+{{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
11	11	)))
	10	+
12	12	1. (((
13	13	Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
14	14
...	...	@@ -16,56 +16,60 @@
16	16
17	17	Denn jeweils gilt:
18	18
19		-{{formula}}
20		-d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
21		-{{/formula}}
	18	+{{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
22	22
23	23	Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
24	24	)))
	22	+
25	25	1. (((
26	26	Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
27	27
28		-{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	26	+{{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
29	29
30	30	Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
31	31
32	32	{{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
33	33	)))
	32	+
34	34	1. (((
35		- Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
	34	+ Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
36	36
37		-{{formula}}
38		-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
39		-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
40		-{{/formula}}
	36	+Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
41	41
42		-{{formula}}
43		-\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
44		-=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
45		-=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
46		-{{/formula}}
	38	+{{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
47	47
	40	+mit
	41	+
	42	+{{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
	43	+und
	44	+{{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
	45	+
	46	+Also:
	47	+
	48	+{{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
	49	+=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
	50	+
48	48	Damit ist
49	49
50	50	{{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
51	51
52		-{{formula}}
53		-\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
54		-=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
55		-=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
56		-{{/formula}}
	55	+Weiter gilt:
57	57
58		-{{formula}}
59		-d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
60		-{{/formula}}
	57	+{{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
	58	+=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
	59	+=\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
61	61
	61	+Also:
	62	+
	63	+{{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
	64	+
62	62	Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
63	63
64	64	{{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
65	65
66		-Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
	69	+Korrekt lautet die Aussage daher:
67	67
68		-Korrekt lautet:
69		-
70	70	{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	72	+
	73	+Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
71	71	)))