Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:04
Zeige letzte Bearbeiter
1 (%class=abc%)
2
3 1. (((
4 {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
5
6 Damit gilt:
7
8 {{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
9 )))
10
11 1. (((
12 Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
13
14 {{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
15
16 Denn jeweils gilt:
17
18 {{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
19
20 Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
21 )))
22
23 1. (((
24 Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
25
26 {{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
27
28 Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
29
30 {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
31 )))
32
33 1. (((
34 Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
35
36 Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
37
38 {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
39
40 mit
41
42 {{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
43 und
44 {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
45
46 Also:
47
48 {{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
49 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
50
51 Damit ist
52
53 {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
54
55 Weiter gilt:
56
57 {{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
58 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
59 =\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
60
61 Also:
62
63 {{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
64
65 Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
66
67 {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
68
69 Korrekt lautet die Aussage daher:
70
71 {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
72
73 Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
74 )))