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Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:13
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1 (%class=abc%)
2
3 1. (((
4 {{formula}}
5 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
6 {{/formula}}
7
8 {{formula}}
9 d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
10 {{/formula}}
11 )))
12
13 1. (((
14 Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
15
16 {{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
17
18 Denn jeweils gilt:
19
20 {{formula}}
21 d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
22 {{/formula}}
23
24 Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
25 )))
26
27 1. (((
28 Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
29
30 {{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
31
32 Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
33
34 {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
35 )))
36
37 1. (((
38 Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
39
40 {{formula}}
41 \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix},\quad
42 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
43 {{/formula}}
44
45 {{formula}}
46 \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
47 =\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
48 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}
49 {{/formula}}
50
51 Damit ist
52
53 {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
54
55 {{formula}}
56 \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
57 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
58 =\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}
59 {{/formula}}
60
61 {{formula}}
62 d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
63 {{/formula}}
64
65 Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
66
67 {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
68
69 Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
70
71 Korrekt lautet:
72
73 {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
74 )))