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Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Version 6.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:15
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1 (%class=abc%)
2
3 1. (((
4 {{formula}}
5 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
6 {{/formula}}
7
8 {{formula}}
9 d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
10 {{/formula}}
11 )))
12 1. (((
13 Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
14
15 {{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
16
17 Denn jeweils gilt:
18
19 {{formula}}
20 d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
21 {{/formula}}
22
23 Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
26 Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
27
28 {{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
29
30 Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
31
32 {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
33 )))
34 1. (((
35 Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
36
37 {{formula}}
38 \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
39 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
40 {{/formula}}
41
42 {{formula}}
43 \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
44 =\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
45 =\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
46 {{/formula}}
47
48 Damit ist
49
50 {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
51
52 {{formula}}
53 \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
54 =\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
55 =\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
56 {{/formula}}
57
58 {{formula}}
59 d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
60 {{/formula}}
61
62 Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
63
64 {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
65
66 Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
67
68 Korrekt lautet:
69
70 {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
71 )))