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Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/28 18:50
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((
3 {{formula}}
4 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
5 {{/formula}}
6
7 {{formula}}
8 d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
9 {{/formula}}
10 )))
11 1. (((**Statt einer Skizze/Zeichnung:**
12 Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
13
14 {{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
15
16 Denn jeweils gilt:
17
18 {{formula}}
19 d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
20 {{/formula}}
21
22 Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
23 )))
24 1. (((
25 Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
26
27 {{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
28
29 Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
30
31 {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
32 )))
33 1. (((
34 Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
35
36 {{formula}}
37 \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
38 \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
39 {{/formula}}
40
41 {{formula}}
42 \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
43 =\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
44 =\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
45 {{/formula}}
46
47 Damit ist
48
49 {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
50
51 {{formula}}
52 \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
53 =\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
54 =\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
55 {{/formula}}
56
57 {{formula}}
58 d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
59 {{/formula}}
60
61 Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
62
63 {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
64
65 Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
66
67 Korrekt lautet:
68
69 {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
70 )))