Änderungen von Dokument Lösung Dreiecksflächen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,11 +1,34 @@
1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2	2	1. (((Die Spurpunkte der Ebene sind {{formula}}A(2|0|0){{/formula}}, {{formula}}B(0|-4|0){{/formula}} und {{formula}}C(0|0|2){{/formula}}.
3		-Die Seitenlängen sind
4		-{{formula}}|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}{{/formula}},
5		-{{formula}}|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}{{/formula}},
6		-{{formula}}|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}.
7		-Also gilt {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{BC}|{{/formula}}, d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.)))
8		-1. (((Der Umfang beträgt {{formula}}u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}{{/formula}}.
9		-Für die Fläche verwendet man z.B. {{formula}}\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}{{/formula}}.
10		-Dann gilt {{formula}}\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}{{/formula}} und damit {{formula}}A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6{{/formula}}.)))
	3	+**Seitenlängen:**
	4	+{{formula}}|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
	5	+{{formula}}|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}{{/formula}}
	6	+{{formula}}|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
	7	+
	8	+Also gilt {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{BC}|{{/formula}}, d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.
	9	+)))
	10	+1. (((**Umfang:**
	11	+{{formula}}u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}{{/formula}}
	12	+
	13	+**Fläche:**
	14	+{{formula}}\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	15	+{{formula}}\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}{{/formula}}
	16	+{{formula}}\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}{{/formula}}
	17	+
	18	+Also gilt {{formula}}A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6{{/formula}}.
	19	+
	20	+//Alternativ//:
	21	+* Als Basis wählen wir {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}.
	22	+* Da {{formula}}AB=BC{{/formula}}, liegt die Höhe von {{formula}}B{{/formula}} auf die Basis {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} im Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} von {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}.
	23	+* Aus {{formula}}A(2|0|0),\quad C(0|0|2){{/formula}} folgt {{formula}}M(1|0|1){{/formula}}.
	24	+* {{formula}}|\overline{AC}|=2\sqrt{2},\qquad |\overline{BM}|=3\sqrt{2}{{/formula}}
	25	+* Damit:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+A_{\triangle ABC}
	29	+=\frac12\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BM}|
	30	+=\frac12\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}
	31	+=6.
	32	+{{/formula}}
	33	+)))
11	11	1. (((Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} ist {{formula}}M(1|0|1){{/formula}}. Eine passende Gerade ist daher die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}M{{/formula}}: {{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.)))