Änderungen von Dokument Lösung Dreiecksflächen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,44 +1,7 @@
1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2	2	1. (((Die Spurpunkte der Ebene sind {{formula}}A(2|0|0){{/formula}}, {{formula}}B(0|-4|0){{/formula}} und {{formula}}C(0|0|2){{/formula}}.
3		-**Seitenlängen:**
4		-{{formula}}|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
5		-{{formula}}|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}{{/formula}}
6		-{{formula}}|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
7		-
8		-Also gilt {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{BC}|{{/formula}}, d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.
9		-)))
10		-1. (((**Umfang:**
11		-{{formula}}u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}{{/formula}}
12		-
13		-**Fläche:**
14		-{{formula}}\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
15		-{{formula}}\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}{{/formula}}
16		-{{formula}}\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}{{/formula}}
17		-
18		-Also gilt {{formula}}A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6{{/formula}}.
19		-
20		-//Alternativ://
21		-Als Basis wählen wir {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}. Da {{formula}}AB=BC{{/formula}}, liegt die Höhe von {{formula}}B{{/formula}} auf die Basis {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} im Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} von {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}.
22		-
23		-{{formula}}A(2|0|0),\quad C(0|0|2){{/formula}}, also
24		-
25		-{{formula}}
26		-M(1|0|1)
27		-{{/formula}}
28		-
29		-und
30		-
31		-{{formula}}
32		-|\overline{AC}|=2\sqrt{2},\qquad |\overline{BM}|=3\sqrt{2}.
33		-{{/formula}}
34		-
35		-Damit:
36		-
37		-{{formula}}
38		-A_{\triangle ABC}
39		-=\frac12\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BM}|
40		-=\frac12\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}
41		-=6.
42		-{{/formula}}
43		-)))
	3	+Die Seitenlängen sind {{formula}}|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}, {{formula}}|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}{{/formula}} und {{formula}}|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}. Also gilt {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{BC}|{{/formula}}. Das Dreieck ist gleichschenklig.)))
	4	+1. (((Der Umfang beträgt {{formula}}u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}{{/formula}}.
	5	+Für die Fläche verwendet man z.B. {{formula}}\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}{{/formula}}.
	6	+Dann gilt {{formula}}\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}{{/formula}} und damit {{formula}}A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6{{/formula}}.)))
44	44	1. (((Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} ist {{formula}}M(1|0|1){{/formula}}. Eine passende Gerade ist daher die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}M{{/formula}}: {{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.)))