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Wiki-Quellcode von Lösung Dreiecksflächen

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:00
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((Die Spurpunkte der Ebene sind {{formula}}A(2|0|0){{/formula}}, {{formula}}B(0|-4|0){{/formula}} und {{formula}}C(0|0|2){{/formula}}.
3 **Seitenlängen:**
4 {{formula}}|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
5 {{formula}}|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}{{/formula}}
6 {{formula}}|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}{{/formula}}
7
8 Also gilt {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{BC}|{{/formula}}, d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.
9 )))
10 1. (((**Umfang:**
11 {{formula}}u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}{{/formula}}
12
13 **Fläche:**
14 {{formula}}\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
15 {{formula}}\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}{{/formula}}
16 {{formula}}\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}{{/formula}}
17
18 Also gilt {{formula}}A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6{{/formula}}.
19
20 //Alternativ//:
21 * Als Basis wählen wir {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}.
22 * Da {{formula}}AB=BC{{/formula}}, liegt die Höhe von {{formula}}B{{/formula}} auf die Basis {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} im Mittelpunkt {{formula}}M(1|0|1){{/formula}} von {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}.
23 * Also gilt {{formula}}|\overline{AC}|=2\sqrt{2},\qquad |\overline{BM}|=3\sqrt{2}{{/formula}} und damit
24
25 {{formula}}
26 A_{\triangle ABC}
27 =\frac12\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BM}|
28 =\frac12\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}
29 =6.
30 {{/formula}}
31 )))
32 1. (((Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt.
33 * Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} ist {{formula}}M(1|0|1){{/formula}}.
34 * Eine passende Gerade ist daher die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}M{{/formula}}:
35 {{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.)))