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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 3.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:48
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
Martin Rathgeb 3.1 13
Martin Rathgeb 1.1 14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
Martin Rathgeb 3.1 59
Martin Rathgeb 1.1 60 )))
61 1. (((
62 Für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt
63
64 {{formula}}
65 \vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
66 {{/formula}}
67
68 Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren. Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
69
70 {{formula}}
71 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
72 =
73 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
74 +
75 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
76 =
77 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
78 {{/formula}}
79
80 Also gilt:
81
82 {{formula}}
83 A'(3|4|-5).
84 {{/formula}}
85
86 Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
87
88 {{formula}}
89 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
90 =
91 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
92 +
93 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
94 =
95 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
96 {{/formula}}
97
98 Also gilt:
99
100 {{formula}}
101 B'(6|3|-3).
102 {{/formula}}
103
104 Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch
105
106 {{formula}}
107 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
108 =
109 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
110 +
111 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
112 =
113 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
114 {{/formula}}
115
116 Also gilt:
117
118 {{formula}}
119 C_1'(1|3|2).
120 {{/formula}}
121
122 Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
123
124 {{formula}}
125 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
126 =
127 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
128 +
129 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
130 +
131 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
132 =
133 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
134 {{/formula}}
135
136 Also gilt:
137
138 {{formula}}
139 O'(5|5|-3).
140 {{/formula}}
Martin Rathgeb 3.1 141
Martin Rathgeb 1.1 142 )))
143 1. (((
144 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
145
146 {{formula}}
147 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
148 {{/formula}}
149
150 Es gilt
151
152 {{formula}}
153 |\vec{a}|
154 =
155 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
156 =
157 \sqrt{9}
158 =
159 3,
160 {{/formula}}
161
162 {{formula}}
163 |\vec{b}|
164 =
165 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
166 =
167 \sqrt{5},
168 {{/formula}}
169
170 und
171
172 {{formula}}
173 |\vec{c}_1|
174 =
175 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
176 =
177 \sqrt{45}
178 =
179 3\sqrt{5}.
180 {{/formula}}
181
182 Damit erhält man
183
184 {{formula}}
185 V
186 =
187 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
188 =
189 45.
190 {{/formula}}
191
192 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
Martin Rathgeb 3.1 193
Martin Rathgeb 1.1 194 )))
195 1. (((
196 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
197
198 {{formula}}
199 \vec{c}_t
200 =
201 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
202 =
203 t\cdot
204 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
205 {{/formula}}
206
207 Damit ist
208
209 {{formula}}
210 |\vec{c}_t|
211 =
212 t\cdot|\vec{c}_1|
213 =
214 3\sqrt{5}\,t.
215 {{/formula}}
216
217 Das Volumen des Quaders beträgt daher
218
219 {{formula}}
220 V(t)
221 =
222 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
223 =
224 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
225 =
226 45t.
227 {{/formula}}
228
229 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
230
231 {{formula}}
232 45t=15.
233 {{/formula}}
234
235 Daraus folgt
236
237 {{formula}}
238 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
239 {{/formula}}
240
241 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
242
243 {{formula}}
244 t=\frac{1}{3}.
245 {{/formula}}
246 )))