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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:54
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
13
14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
59
60 )))
61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
62
63 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
64 {{formula}}
65 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
66 =
67 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
68 +
69 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
70 =
71 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
72 {{/formula}}
73 Also gilt: {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}}.
74
75 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
76 {{formula}}
77 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
78 =
79 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
80 +
81 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
82 =
83 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
84 {{/formula}}
85 Also gilt: {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}}.
86
87 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch
88 {{formula}}
89 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
90 =
91 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
92 +
93 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
94 =
95 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
96 {{/formula}}
97 Also gilt: {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}}.
98
99 * Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
100 {{formula}}
101 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
102 =
103 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
104 +
105 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
106 +
107 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
108 =
109 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
110 {{/formula}}
111 Also gilt: {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}}.
112
113 )))
114 1. (((
115 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
116
117 {{formula}}
118 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
119 {{/formula}}
120
121 Es gilt
122
123 {{formula}}
124 |\vec{a}|
125 =
126 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
127 =
128 \sqrt{9}
129 =
130 3,
131 {{/formula}}
132
133 {{formula}}
134 |\vec{b}|
135 =
136 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
137 =
138 \sqrt{5},
139 {{/formula}}
140
141 und
142
143 {{formula}}
144 |\vec{c}_1|
145 =
146 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
147 =
148 \sqrt{45}
149 =
150 3\sqrt{5}.
151 {{/formula}}
152
153 Damit erhält man
154
155 {{formula}}
156 V
157 =
158 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
159 =
160 45.
161 {{/formula}}
162
163 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
164
165 )))
166 1. (((
167 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
168
169 {{formula}}
170 \vec{c}_t
171 =
172 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
173 =
174 t\cdot
175 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
176 {{/formula}}
177
178 Damit ist
179
180 {{formula}}
181 |\vec{c}_t|
182 =
183 t\cdot|\vec{c}_1|
184 =
185 3\sqrt{5}\,t.
186 {{/formula}}
187
188 Das Volumen des Quaders beträgt daher
189
190 {{formula}}
191 V(t)
192 =
193 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
194 =
195 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
196 =
197 45t.
198 {{/formula}}
199
200 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
201
202 {{formula}}
203 45t=15.
204 {{/formula}}
205
206 Daraus folgt
207
208 {{formula}}
209 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
210 {{/formula}}
211
212 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
213
214 {{formula}}
215 t=\frac{1}{3}.
216 {{/formula}}
217 )))