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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 5.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:55
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
Martin Rathgeb 3.1 13
Martin Rathgeb 1.1 14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
Martin Rathgeb 3.1 59
Martin Rathgeb 1.1 60 )))
Martin Rathgeb 4.1 61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 62
Martin Rathgeb 5.1 63 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 64 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
65 =
66 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
67 +
68 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
69 =
70 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
71 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 72 Also gilt: {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 73
Martin Rathgeb 5.1 74 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 75 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
76 =
77 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
78 +
79 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
80 =
81 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
82 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 83 Also gilt: {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 84
Martin Rathgeb 5.1 85 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 86 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
87 =
88 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
89 +
90 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
91 =
92 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
93 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 94 Also gilt: {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 95
Martin Rathgeb 5.1 96 * Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren: {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 97 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
98 =
99 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
100 +
101 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
102 +
103 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
104 =
105 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
106 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 107 Also gilt: {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 108
109 )))
110 1. (((
111 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
112
113 {{formula}}
114 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
115 {{/formula}}
116
117 Es gilt
118
119 {{formula}}
120 |\vec{a}|
121 =
122 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
123 =
124 \sqrt{9}
125 =
126 3,
127 {{/formula}}
128
129 {{formula}}
130 |\vec{b}|
131 =
132 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
133 =
134 \sqrt{5},
135 {{/formula}}
136
137 und
138
139 {{formula}}
140 |\vec{c}_1|
141 =
142 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
143 =
144 \sqrt{45}
145 =
146 3\sqrt{5}.
147 {{/formula}}
148
149 Damit erhält man
150
151 {{formula}}
152 V
153 =
154 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
155 =
156 45.
157 {{/formula}}
158
159 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
Martin Rathgeb 3.1 160
Martin Rathgeb 1.1 161 )))
162 1. (((
163 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
164
165 {{formula}}
166 \vec{c}_t
167 =
168 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
169 =
170 t\cdot
171 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
172 {{/formula}}
173
174 Damit ist
175
176 {{formula}}
177 |\vec{c}_t|
178 =
179 t\cdot|\vec{c}_1|
180 =
181 3\sqrt{5}\,t.
182 {{/formula}}
183
184 Das Volumen des Quaders beträgt daher
185
186 {{formula}}
187 V(t)
188 =
189 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
190 =
191 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
192 =
193 45t.
194 {{/formula}}
195
196 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
197
198 {{formula}}
199 45t=15.
200 {{/formula}}
201
202 Daraus folgt
203
204 {{formula}}
205 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
206 {{/formula}}
207
208 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
209
210 {{formula}}
211 t=\frac{1}{3}.
212 {{/formula}}
213 )))