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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 6.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:57
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
Martin Rathgeb 3.1 13
Martin Rathgeb 1.1 14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
Martin Rathgeb 3.1 59
Martin Rathgeb 1.1 60 )))
Martin Rathgeb 4.1 61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 62
Martin Rathgeb 6.1 63 * Der Punkt {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}} gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
64
65 {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 66 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
67 =
68 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
69 +
70 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
71 =
72 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
73 {{/formula}}
74
Martin Rathgeb 6.1 75 * Der Punkt {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}} gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
76
77 {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 78 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
79 =
80 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
81 +
82 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
83 =
84 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
85 {{/formula}}
86
Martin Rathgeb 6.1 87 * Der Punkt {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}} gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 88 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
89 =
90 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
91 +
92 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
93 =
94 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
95 {{/formula}}
96
Martin Rathgeb 6.1 97 * Der Punkt {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}} gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
98
99 {{formula}}
Martin Rathgeb 1.1 100 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
101 =
102 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
103 +
104 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
105 +
106 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
107 =
108 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
109 {{/formula}}
110
111 )))
112 1. (((
113 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
114
115 {{formula}}
116 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
117 {{/formula}}
118
119 Es gilt
120
121 {{formula}}
122 |\vec{a}|
123 =
124 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
125 =
126 \sqrt{9}
127 =
128 3,
129 {{/formula}}
130
131 {{formula}}
132 |\vec{b}|
133 =
134 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
135 =
136 \sqrt{5},
137 {{/formula}}
138
139 und
140
141 {{formula}}
142 |\vec{c}_1|
143 =
144 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
145 =
146 \sqrt{45}
147 =
148 3\sqrt{5}.
149 {{/formula}}
150
151 Damit erhält man
152
153 {{formula}}
154 V
155 =
156 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
157 =
158 45.
159 {{/formula}}
160
161 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
Martin Rathgeb 3.1 162
Martin Rathgeb 1.1 163 )))
164 1. (((
165 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
166
167 {{formula}}
168 \vec{c}_t
169 =
170 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
171 =
172 t\cdot
173 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
174 {{/formula}}
175
176 Damit ist
177
178 {{formula}}
179 |\vec{c}_t|
180 =
181 t\cdot|\vec{c}_1|
182 =
183 3\sqrt{5}\,t.
184 {{/formula}}
185
186 Das Volumen des Quaders beträgt daher
187
188 {{formula}}
189 V(t)
190 =
191 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
192 =
193 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
194 =
195 45t.
196 {{/formula}}
197
198 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
199
200 {{formula}}
201 45t=15.
202 {{/formula}}
203
204 Daraus folgt
205
206 {{formula}}
207 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
208 {{/formula}}
209
210 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
211
212 {{formula}}
213 t=\frac{1}{3}.
214 {{/formula}}
215 )))