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Lösung Quader durch Punkte

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:57

  1. Die Punkte haben die Koordinaten

    \[A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).\]

    Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:

    • \(A\) liegt in positiver \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung.
    • \(B\) liegt in negativer \(x_1\)-Richtung, positiver \(x_2\)-Richtung und auf der Ebene \(x_3=0\).
    • \(C_1\) liegt in positiver \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung, aber in negativer \(x_3\)-Richtung.

  2. Die Punkte \(A,\ B,\ C_t\) werden als Endpunkte der Ortsvektoren

    \[\vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\]

    aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.

    Dazu berechnet man die Skalarprodukte:

    \[\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0 = -2+2+0 = 0.\]
    \[\vec{a}\cdot\vec{c}_t = 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t) = 8t+2t-10t = 0.\]
    \[\vec{b}\cdot\vec{c}_t = (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t) = -4t+4t+0 = 0.\]

    Damit stehen die drei Vektoren \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t\) paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem \(t>0\) gilt, ist \(\vec{c}_t\) kein Nullvektor. Die Punkte \(O,\ A,\ B,\ C_t\) sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.

  3. Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für \(t=1\) gilt \(\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}\).

    • Der Punkt \(A'(3|4|-5)\) gegenüber von \(A\) entsteht durch
    \[\overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1 = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.\]
    • Der Punkt \(B'(6|3|-3)\) gegenüber von \(B\) entsteht durch
    \[\overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1 = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.\]
    • Der Punkt \(C_1'(1|3|2)\) gegenüber von \(C_1\) entsteht durch
    \[\overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.\]
    • Der Punkt \(O'(5|5|-3)\) gegenüber vom Ursprung \(O\) entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
    \[\overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1 = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.\]

  4. Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:

    \[V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.\]

    Es gilt

    \[|\vec{a}| = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = \sqrt{9} = 3,\]
    \[|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} = \sqrt{5},\]

    und

    \[|\vec{c}_1| = \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.\]

    Damit erhält man

    \[V = 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5} = 45.\]

    Der Quader besitzt für \(t=1\) also das Volumen \(45\).

  5. Für allgemeines \(t>0\) gilt

    \[\vec{c}_t = \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.\]

    Damit ist

    \[|\vec{c}_t| = t\cdot|\vec{c}_1| = 3\sqrt{5}\,t.\]

    Das Volumen des Quaders beträgt daher

    \[V(t) = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t| = 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t = 45t.\]

    Gesucht ist ein Wert von \(t\) mit

    \[45t=15.\]

    Daraus folgt

    \[t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.\]

    Da \(\frac{1}{3}>0\) gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich

    \[t=\frac{1}{3}.\]