Änderungen von Dokument Lösung Spiegelung an Punkt

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2		-1. (((Bei einer Punktspiegelung an {{formula}}S{{/formula}} gilt für jeden Punkt {{formula}}X{{/formula}} mit Ortsvektor {{formula}}\vec{x}{{/formula}}: {{formula}}\vec{x'}=2\vec{s}-\vec{x}{{/formula}}. Daher gilt insbesondere {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}}, {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}=2\vec{s}-\vec{c}{{/formula}}. In der Skizze liegt {{formula}}S{{/formula}} jeweils als Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt, also z.B. zwischen {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}A'{{/formula}}.)))
	2	+1. (((Bei einer Punktspiegelung an {{formula}}S{{/formula}} gilt für jeden Punkt {{formula}}X{{/formula}} mit Ortsvektor {{formula}}\vec{x}{{/formula}}:
	3	+
	4	+{{formula}}\vec{x'}=2\vec{s}-\vec{x}{{/formula}}.
	5	+
	6	+Daher gilt insbesondere {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}}, {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}=2\vec{s}-\vec{c}{{/formula}}.
	7	+In der Skizze liegt {{formula}}S{{/formula}} jeweils als Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt, also z.B. zwischen {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}A'{{/formula}}.
	8	+)))
3	3	1. (((Die Spiegelbilder ergeben sich wie folgt:
4	4	* **Punkt {{formula}}A{{/formula}}.** Der Spiegelpunkt {{formula}}A'{{/formula}} liegt auf der Geraden durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}; dabei ist {{formula}}S{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AA'}{{/formula}}.
5	5	* **Gerade {{formula}}g=g(A;B){{/formula}}.** Das Spiegelbild ist die Gerade {{formula}}g'=g(A';B'){{/formula}}. Da Punktspiegelungen Geraden auf Geraden abbilden und die Richtungsrichtung erhalten bleibt, gilt {{formula}}g'\parallel g{{/formula}}.
6		-* **Ebene {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}}.** Das Spiegelbild ist die Ebene {{formula}}E'=\text{E}(A';B';C'){{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E'{{/formula}} ist parallel zu {{formula}}E{{/formula}}, da die Spannrichtungen erhalten bleiben.)))
	12	+* **Ebene {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}}.** Das Spiegelbild ist die Ebene {{formula}}E'=\text{E}(A';B';C'){{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E'{{/formula}} ist parallel zu {{formula}}E{{/formula}}, da die Spannrichtungen erhalten bleiben.
	13	+)))
7	7	1. (((Algebraische Darstellung:
8	8	* **Punkt {{formula}}A'{{/formula}}.** Aus der Punktspiegelung folgt direkt {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}}.
9		-* **Gerade {{formula}}g'{{/formula}}.** Für {{formula}}g{{/formula}} gilt {{formula}}g:\vec{x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}. Damit gilt für das Spiegelbild {{formula}}g':\vec{x}=\vec{a'}+t(\vec{b'}-\vec{a'}){{/formula}}. Mit {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} erhält man die Termkette {{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=(2\vec{s}-\vec{b})-(2\vec{s}-\vec{a})=2\vec{s}-\vec{b}-2\vec{s}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}=-(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}. Daher ist z.B. {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{a}-\vec{b}){{/formula}} oder äquivalent {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
10		-* **Ebene {{formula}}E'{{/formula}}.** Für {{formula}}E{{/formula}} gilt {{formula}}E:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}. Das Spiegelbild ist {{formula}}E':\vec{x}=\vec{a'}+r(\vec{b'}-\vec{a'})+u(\vec{c'}-\vec{a'}){{/formula}}. Mit {{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{c}{{/formula}} ergibt sich {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{a}-\vec{b})+u(\vec{a}-\vec{c}){{/formula}}. Äquivalent kann man auch die ursprünglichen Spannvektoren verwenden: {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}.)))
	16	+* **Gerade {{formula}}g'{{/formula}}.** Für {{formula}}g{{/formula}} gilt {{formula}}g:\vec{x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
	17	+Damit gilt für das Spiegelbild {{formula}}g':\vec{x}=\vec{a'}+t(\vec{b'}-\vec{a'}){{/formula}}.
	18	+Mit {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} erhält man folgende Termkette:
	19	+{{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=(2\vec{s}-\vec{b})-(2\vec{s}-\vec{a})=2\vec{s}-\vec{b}-2\vec{s}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}=-(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
	20	+Daher ist z.B. {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{a}-\vec{b}){{/formula}} oder äquivalent {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
	21	+* **Ebene {{formula}}E'{{/formula}}.** Für {{formula}}E{{/formula}} gilt {{formula}}E:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}.
	22	+Das Spiegelbild ist {{formula}}E':\vec{x}=\vec{a'}+r(\vec{b'}-\vec{a'})+u(\vec{c'}-\vec{a'}){{/formula}}.
	23	+Mit {{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{c}{{/formula}} ergibt sich {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{a}-\vec{b})+u(\vec{a}-\vec{c}){{/formula}}.
	24	+Äquivalent kann man auch die ursprünglichen Spannvektoren verwenden: {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}.)))