Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Spiegelung an Punkt

Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 15:30
Zeige letzte Bearbeiter
1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((Bei einer Punktspiegelung an {{formula}}S{{/formula}} gilt für jeden Punkt {{formula}}X{{/formula}} mit Ortsvektor {{formula}}\vec{x}{{/formula}}:
3 {{formula}}\vec{x'}=2\vec{s}-\vec{x}{{/formula}}.
4 Daher gilt insbesondere {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}}, {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}=2\vec{s}-\vec{c}{{/formula}}.
5 In der Skizze liegt {{formula}}S{{/formula}} jeweils als Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt, also z.B. zwischen {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}A'{{/formula}}.
6 )))
7 1. (((Die Spiegelbilder ergeben sich wie folgt:
8 * **Punkt {{formula}}A{{/formula}}.** Der Spiegelpunkt {{formula}}A'{{/formula}} liegt auf der Geraden durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}; dabei ist {{formula}}S{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AA'}{{/formula}}.
9 * **Gerade {{formula}}g=g(A;B){{/formula}}.** Das Spiegelbild ist die Gerade {{formula}}g'=g(A';B'){{/formula}}. Da Punktspiegelungen Geraden auf Geraden abbilden und die Richtungsrichtung erhalten bleibt, gilt {{formula}}g'\parallel g{{/formula}}.
10 * **Ebene {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}}.** Das Spiegelbild ist die Ebene {{formula}}E'=\text{E}(A';B';C'){{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E'{{/formula}} ist parallel zu {{formula}}E{{/formula}}, da die Spannrichtungen erhalten bleiben.
11 )))
12 1. (((Algebraische Darstellung:
13 * **Punkt {{formula}}A'{{/formula}}.** Aus der Punktspiegelung folgt direkt {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}}.
14 * **Gerade {{formula}}g'{{/formula}}.** Für {{formula}}g{{/formula}} gilt {{formula}}g:\vec{x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
15 Damit gilt für das Spiegelbild {{formula}}g':\vec{x}=\vec{a'}+t(\vec{b'}-\vec{a'}){{/formula}}.
16 Mit {{formula}}\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}{{/formula}} erhält man folgende Termkette:
17 {{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=(2\vec{s}-\vec{b})-(2\vec{s}-\vec{a})=2\vec{s}-\vec{b}-2\vec{s}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}=-(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
18 Daher ist z.B. {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{a}-\vec{b}){{/formula}} oder äquivalent {{formula}}g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{b}-\vec{a}){{/formula}}.
19 * **Ebene {{formula}}E'{{/formula}}.** Für {{formula}}E{{/formula}} gilt {{formula}}E:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}.
20 Das Spiegelbild ist {{formula}}E':\vec{x}=\vec{a'}+r(\vec{b'}-\vec{a'})+u(\vec{c'}-\vec{a'}){{/formula}}.
21 Mit {{formula}}\vec{b'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{c}{{/formula}} ergibt sich {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{a}-\vec{b})+u(\vec{a}-\vec{c}){{/formula}}.
22 Äquivalent kann man auch die ursprünglichen Spannvektoren verwenden: {{formula}}E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}){{/formula}}.)))