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Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/05/27 17:41
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. Da der Vektor {{formula}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} kein Vielfaches des Vektors {{formula}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} ist, sind die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear und die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} somit nicht identisch.
3 1. (((Damit die Gerade {{formula}} g {{/formula}} durch eine Spiegelung an einer Ebene exakt auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet wird, muss der Normalenvektor der Ebene auf der Winkelhalbierenden der Richtungsvektoren von {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} liegen. Zudem
4 muss die Spiegelebene durch ihren Schnittpunkt {{formula}}(1|1|1){{/formula}} verlaufen.
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6 Da beide Richtungsvektoren exakt gleich lang sind, spannen sie geometrisch betrachtet eine Raute auf. In einer Raute halbiert die Diagonale stets den Winkel.
7 Daher erhalten wir durch Vektoraddition der beiden Richtungsvektoren die Winkelhalbierende/den Normalenvektor der Ebene:
8 {{formula}} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}}.
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10 Daraus ergibt sich die allgemeine Koordinatengleichung der Ebene: {{formula}} 3x_1 + 3x_2 = d {{/formula}}
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12 Die Ebene muss den Schnittpunkt der Geraden {{formula}} S(1|1|1) {{/formula}} enthalten. Wir setzen diesen Punkt in unsere Gleichung ein und erhalten {{formula}}d=6{{/formula}}.
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15 Eine geeignete Ebenengleichung für die Spiegelung lautet somit:
16 {{formula}} E: 3x_1 + 3x_2 = 6 {{/formula}})))