Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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  • Moeglichkeit_2.png
  • Moeglichkeit_3.png
  • Moeglichkeit_4.png
  • Quader.png

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.clemensbaur

Inhalt

...	...	@@ -65,6 +65,46 @@
65	65	)))
66	66	{{/aufgabe}}
67	67
	68	+
	69	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
	70	+
	71	+**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
	72	+
	73	+ Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
	74	+
	75	+ Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
	76	+
	77	+1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellen Rechenweg.
	78	+1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
	79	+1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
	80	+ 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
	81	+
	82	+||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
	83	+ [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]|| Rechnung
	84	+||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
	85	+ [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
	86	+des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
	87	+Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
	88	+beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
	89	+des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
	90	+Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
	91	+Hierzu betrachtet man den Term unter der
	92	+Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
	93	+Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
	94	+Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
	95	+von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
	96	+dies auch das globale Minimum.
	97	+Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
	98	+Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
	99	+
	100	+||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
	101	+ [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
	102	+ [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]
	103	+
	104	+
	105	+
	106	+{{/aufgabe}}
	107	+
68	68	{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
69	69	Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
70	70
...	...	@@ -214,6 +214,13 @@
214	214	)))
215	215	{{/aufgabe}}
216	216
	257	+{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
	258	+Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
	259	+Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
	260	+
	261	+Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
	262	+{{/aufgabe}}
	263	+
217	217	== Volumina ==
218	218
219	219	{{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
...	...	@@ -226,13 +226,7 @@
226	226	1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
227	227	{{/aufgabe}}
228	228
229		-{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
230		-Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
231		-Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
232	232
233		-Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
234		-{{/aufgabe}}
235		-
236	236	{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
237	237	Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
238	238	(%class=abc%)
...	...	@@ -249,7 +249,7 @@
249	249	1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
250	250	{{/aufgabe}}
251	251
252		-{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
	293	+{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
253	253	Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
254	254
255	255	(%class=abc%)
...	...	@@ -257,3 +257,14 @@
257	257	1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
258	258	Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
259	259	{{/aufgabe}}
	301	+
	302	+
	303	+{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
	304	+[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
	305	+Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
	306	+zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
	307	+
	308	+(%class=abc%)
	309	+1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
	310	+1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
	311	+{{/aufgabe}}

Moeglichkeit_1.png

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