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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 12:38
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am 2026/07/06 16:01
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.clemensbaur
Inhalt
... ... @@ -65,6 +65,46 @@
65 65  )))
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 +
69 +{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
70 +
71 +**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 +
73 + Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 +
75 + Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 +
77 +1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellen Rechenweg.
78 +1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 +1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 + 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 +
82 +||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 + [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]|| Rechnung
84 +||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 + [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 +Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 +beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 +Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 +Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 +Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 +Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 +Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 +von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 +dies auch das globale Minimum.
97 +Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 +Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 +
100 +||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 + [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
102 + [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]
103 +
104 +
105 +
106 +{{/aufgabe}}
107 +
68 68  {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
69 69  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
70 70  
... ... @@ -214,6 +214,13 @@
214 214  )))
215 215  {{/aufgabe}}
216 216  
257 +{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
258 +Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
259 +Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
260 +
261 +Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
262 +{{/aufgabe}}
263 +
217 217  == Volumina ==
218 218  
219 219  {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
... ... @@ -226,13 +226,7 @@
226 226  1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
227 227  {{/aufgabe}}
228 228  
229 -{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
230 -Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
231 -Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
232 232  
233 -Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
234 -{{/aufgabe}}
235 -
236 236  {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
237 237  Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
238 238  (%class=abc%)
... ... @@ -257,3 +257,14 @@
257 257  1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
258 258  Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
259 259  {{/aufgabe}}
301 +
302 +
303 +{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
304 +[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
305 +Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
306 +zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
307 +
308 +(%class=abc%)
309 +1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
310 +1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
311 +{{/aufgabe}}
Moeglichkeit_1.png
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