BPE 16.6 Abstände und Volumina

1  Abstand Punkt Punkt  (10 min) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(P(1|3|5)\) und \(Q(1|5|3)\).

1. Bestimme den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) und den Abstand \(d(P;Q)\).

2. Zeichne die Punkte \(P\), \(Q\) sowie drei weitere Punkte ein, die von \(P\) denselben Abstand haben wie \(Q\).

   Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.

3. Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von \(P\) denselben Abstand wie \(Q\) haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von \(P\) doppelt so groß ist wie \(d(P;Q)\).

4. Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt \(K\) mit \(\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}\) gilt \(d(P;K)=r\cdot d(P;Q)\).“

   Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall \(r=-2\): Bestimme \(K\), den Vektor \(\overrightarrow{PK}\) und den Abstand \(d(P;K)\).

2  Abstand Punkt Koordinatenebene  (8 min)

Gegeben ist der Punkt \(P(1|3|4)\) und die Koordinatenebene \(Z:\ z=0\).

1. Bestimme den Abstand \(d(P;Z)\).

2. Zeichne den Punkt \(P\) sowie drei weitere Punkte ein, die von \(Z\) denselben Abstand haben wie \(P\).

   Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.

3. Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von \(Z\) denselben Abstand wie \(P\) haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von \(Z\) doppelt so groß ist.

3  Lotfußpunkt auf Gerade  (10 min)

Gegeben ist der Punkt \(P(1|3|5)\) und die Gerade

1. Gib einen allgemeinen Punkt \(G_r\) der Geraden \(g\) in Koordinaten an.

2. Bestimme den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PG_r}\).

3. Berechne dasjenige \(r_0\), für das der Vektor \(\overrightarrow{PG_{r_0}}\) senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden \(g\) steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: \(d(P;G_{r_0})=d(P;g)\).

4  Mindestabstand Punkt Gerade (1)  (30 min)

Problem: Gegeben sind eine Gerade \(g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}\) und ein Punkt \(P\).
 
  Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?

  Beispiel: \(g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}\) und \(P(5|3|1)\).
 
Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellten Rechenweg.

Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene

  
 
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