BPE 16.7 Anwendung

1  Licht und Schatten  (12 min)

Die Abbildung zeigt das Schaubild eines Quaders. Ermittle die Eckpunkte seines Schattens auf der \(x_1x_2\)-Ebene und zeichnen diesen, wenn

1. Licht mit der Richtung \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\)
2. Lich aus dem Punkt \(P(0|0|4)\)

auf den Quader fällt.

2  Sonnenegel  (30 min)

Die Punkte \(A(2|2|4)\), \(B(3|2|2)\) und \(C(4|5|3)\) sind die Eckpunkte eines über dem Boden (\(x_1x_2\)-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1\), beschreiben lässt.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

1. Geben Sie den kleinsten Abstand des Sonnensegels zum Boden an.
   Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung \(2x_1-x_2+x_3=6\) liegt.

2. Berechne den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) und den Abstand \(d(P;Q)\).

3. Ein Mitschüler behauptet:

   „Für den Punkt \(K\) mit \(\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}\) gilt \(d(P;K)=r\cdot d(P;Q)\).“

   Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall \(r=-2\): Bestimme \(K\), den Vektor \(\overrightarrow{PK}\) und den Abstand \(d(P;K)\).