BPE 16.7 Anwendung

1  Abstandsproblem Drohne  (20 min)

Eine Drohne befindet sich im Punkt \(P(6\mid 4\mid 5)\).

Eine Landefläche liegt in der Ebene \(E: z=0\). Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade \(g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\) beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist \(A(2\mid 1\mid 0)\).

1. Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene \(E\) als Grundfläche, die Gerade \(g\) in der Ebene sowie die Punkte \(P\) und \(A\). Markiere in deiner Skizze:

   • die Verbindung \(PA\),
   • den kürzesten Abstand von \(P\) zur Ebene \(E\),
   • eine Verbindung von \(P\) zur Geraden \(g\).

2. Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche \(E\). Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts \(F_E\) an.

3. Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie \(g\).
   Berechne dazu einen geeigneten Punkt \(F_g \in g\), der den Abstand realisiert.

4. Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt \(A\).

5. Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.

   Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.

6. Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie \(g\) möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.

   Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.

2  Licht und Schatten  (12 min)

Die Abbildung zeigt das Schaubild eines Quaders. Ermittle die Eckpunkte seines Schattens auf der \(x_1x_2\)-Ebene und zeichnen diesen, wenn

1. Licht mit der Richtung \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\)
2. Licht aus dem Punkt \(P(0|0|4)\)

auf den Quader fällt.

3  Raumschiff  (30 min)

Ein Raumschiff bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit durchs All. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich das Raumschiff im Punkt \(P(4|2|5)\) (1LE=10000km). Das Raumschiff bewegt sich in Richtung \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\)

1. Bestimme die Gleichung der Flugbahn des Raumschiffs.
2. Nach 10 Stunden befindet sich das Raumschiff im Punkt \(Q(14|-8|55)\). Bestimme die Geschwindigkeit v, mit der sich das Raumschiff durch das All bewegt.

4  Karlsruher Pyramide  (45 min)

Bei Wikipedia steht über die Karlsruher Pyramide das folgende:

"Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe ist das Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach (1679–1738) und ein Wahrzeichen der Stadt. Die Pyramide hat eine Höhe von 6,81 Meter, wobei ihre Seitenkanten 8,04 Meter und die Basiskanten der quadratischen Grundfläche 6,05 Meter lang sind. Die gebaute Neigung der Pyramide beträgt \(3\frac{1}{3}\) Seked."

1. Wähle ein Koordinatensystem, in dem die Eckpunkte der Pyramide möglichst einfach beschrieben werden können. Erläutere Deine Wahl.
2. Zeichne die Pyramide in das gewählte Koordinatensystem ein.
3. Untersuche mit Hilfe der Vektorrechnung, ob die Längenangaben aus Wikipedia miteinander verträglich sind.
4. Seked ist ein altägyptisches Neigungsmaß für Pyramiden. Ermittle aus den obigen Angaben, wieviel Grad \(3\frac{1}{3}\) Seked entsprechen.
5. Begründe, dass es eine Kugel gibt, auf deren Oberfläche alle fünf Ecken der Pyramide liegen, und berechne den Radius dieser Kugel.

_{Bild:  Sitacuisses, Marktplatz Karlsruhe: Pyramide und Rathaus, CC BY-SA 3.0}

5  Standseilbahn  (k. A.) 𝕃

Betrachtet wird ein geradliniger Abschnitt der Strecke der abgebildeten Standseilbahn. In einem Koordinatensystem werden der Anfang und das Ende dieses Abschnitts durch die Punkte\( A(-13|9|4) \) bzw. \( E(-33|69|34) \) dargestellt, die Talstation der Seilbahn durch den Koordinatenursprung.
Die \( x_1 x_2 \) -Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 Metern in der Realität.

1. Gib die Bedeutung der Gleichung \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -13 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -20 \\ 60 \\ 30 \end{pmatrix} \) mit \( \lambda \in [0;1] \) im Sachzusammenhang an.
2. Ermittle die Höhe der Seilbahn über der Talstation, wenn die Seilbahn im beschriebenen Streckenabschnitt 140 Meter vom Anfang dieses Abschnitts entfernt ist.