Änderungen von Dokument BPE 17.3 Baumdiagramm, Vierfeldertafel, Additionssatz und Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.gbeikert
++XWiki.holgerengels

Inhalt

@@ -1,3 +1,5 @@
++{{seiteninhalt/}}
++
  Ich kann stochastische Sachverhalte mittels Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen.
  Ich kann in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln enthaltenen Informationen interpretieren.
@@ -5,46 +5,35 @@
  Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.
  Ich kann Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen.
--Laplace-Formel, Gegenereigniss. 3-Mal-Mindestens-Aufgaben, Pfadrregeln, Additionssatz
++== Baumdiagramm und Vierfeldertafel ==
--{{aufgabe id="Bedingungen vertauschen" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
--In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingten Wahrhscheinlichkeiten in beide Richtungen.
--(%class=abc%)
--1. Formuliere in Worten, was P,,B,,(A) und P,,A,,(B) bedeutet.
--1. Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit groß und welche klein ist.
++{{aufgabe id="Raucher" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann"}}
++Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
++Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:
--
--1. P,,Person ist Vater,,(Person ist Mann) vs. P,,Person ist Mann,,(Person ist Vater)
--1. P,,Schülerin besucht Mathe-LK,,(Schülerin hat gute Mathe-Note) vs. P,,Schüler hat gute Mathe-Note,,(Schülerin besucht Mathe-LK)
--1. P,,es regnet,,(Straße ist nass) vs. P,,Straße ist nass,,(es regnet)
--1. P,,Passagier fliegt heute,,(Passagier passiert Sicherheitskontrolle) vs. P,,Passagier passiert Sicherheitskontrolle,,(Passagier fliegt heute)
--{{/aufgabe}}
++(%class="border slim"%)
++|=|=Raucher|=Nichtraucher|
++|=Frauen|||
++|=Männer|||
++| |||
--{{aufgabe id="Bezugsgröße der Bedingung" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
--In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B sowie die Bedingung M angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingte Wahrscheinlichkeit.
--a) Formuliere in Worten, was P,,M,,(A) und P,,M,,(B) bedeutet.
--b) Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit größer ist.
--
--
--1. Ein Mann hört gerne klassische Musik. Welche  Wahrscheinlichkeit ist größer: dass der Mann ein LKW-Fahrer ist oder dass der Mann ein Literaturprofessor ist.
--2. Eine Person joggt regelmäßig. Welche  Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Profisportler ist oder dass die Person 18-25 Jahre alt ist.
--3. Eine Person isst sehr gerne Gemüse. Welche  Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Fußballprofi ist oder dass die Person ein Rentner ist.
++Berechne
++(%class=abc%)
++1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
++1. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
++1. wie viel Prozent der Männer rauchen,
++1. wie viel Prozent der Frauen rauchen
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Kausalität" afb="III" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
--Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung von 100 Arbeitnehmer*innen nach Geschlecht und Arbeitslohn.
--(%class="border slim"%)
--|=|> 3.000€|≤ 3.000€|
--|=Frauen|20|40|60
--|=Männer|25|15|40
--| |45|55|100
++{{aufgabe id="Sabas Geburtstag" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Dr. Günther Beikert" zeit="15 min"}}
++Ein Tag, an dem es weder regnet noch stürmt, heißt Glückstag. Saba hat im Februar Geburtstag. Im Februar 2026 war jeder zweite Tag ein Glückstag, obwohl es an 10 Tagen geregnet und an 8 Tagen gestürmt hat.
  (%class=abc%)
--1. Prüfe, ob Geschlecht und Arbeitslohn stochastisch unabhängig sind.
--1. Formuliere in eigenen Worten, was das Ergebnis bedeutet.
--1. Diskutiere, warum stochastische Abhängigkeit nicht automatisch Kausalität bedeutet.
++1. Ermittle, an wievielen Tagen im Februar 2026 es geregnet und gestürmt hat.
++1. 2026 hat es an Sabas Geburtstag nicht geregnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Tag ein Glückstag war.
++1. Stelle den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Hölzchen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" zeit="10" cc="by-sa"}}
++{{aufgabe id="Hölzchen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" zeit="10"}}
  Tina hält in der Hand lange und kurze Hölzchen. Marc und Stefan ziehen zufällig abwechselnd je ein Hölzchen (ohne Zurücklegen). Sobald einer ein langes Hölzchen zieht, hat er gewonnen und darf mit Tina ausgehen.
  (%class=abc%)
 . Tina hat 3 kurze und 1 langes Hölzchen. Marc beginnt. Stefan glaubt, er sei im Nachteil, weil er erst als zweiter zieht. Untersuche, ob Stefan recht hat.
@@ -51,13 +51,17 @@
 . Am nächsten Tag wird das Spiel wiederholt. Tina möchte nun Marc begünstigen. Hanna rät ihr: „Nimm 3 lange und 2 kurze Hölzchen und lass Marc anfangen.“ Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Tina mit Marc ausgeht.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Mogeln" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
--In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
--
--Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
++{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" kompetenzen="K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_14.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
++Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt //p//. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.
++1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
++1. (((Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
++E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
++G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
++Ermittle eine Gleichung, die die Variable //p// enthält und die Berechnung des Werts von //p// ermöglicht.
++)))
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Kugeln ziehen" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
++{{aufgabe id="Kugeln ziehen" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen"}}
  In einer Urne sind 4 blaue, 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es wird zufällig gezogen ohne Zurücklegen und die jeweilige Farbe notiert. Wenn eine blaue Kugel gezogen wird ist Schluß, spätestens jedoch, wenn dreimal gezogen wurde.
  (%class=abc%)
 . Gib einen möglichen Ergebnisraum an und skizziere das zugehörige Baumdiagramm.
@@ -67,75 +67,63 @@
  |{{formula}}C = A \cap B {{/formula}}|{{formula}}D = A \cup B {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Nüsse" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Helmut Diehl, Frenzen" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
--Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.
++{{aufgabe id="Mogeln" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
++In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
--Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so  ◡  oder so  ◠  liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
--Zwei Nussschalen  liegen  ◡ ◡  oder  ◠ ◠  oder eine  ◡  und die andere  ◠.
--Der Fall  ◠ ◠  kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle ( ◡ ◡  und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.
--
--Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine  halbe Nussschale in die Lage  ◡  fällt.
++Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Formulierungen" afb="I" quelle="Holger Engels" kompetenzen="" zeit="2" cc="by-sa" tags=""}}
--Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).
--(%class=abc%)
--1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
--1. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
--1. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Rennen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
++{{aufgabe id="Rennen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann"}}
  Zu Beginn der Saison ist Rudi der stärkste Rennfahrer; seine Chance ein Rennen zu gewinnen liegt bei p = 0,6. Rudi nimmt in dieser Saison nur an 6 Rennen teil.
  An wie vielen Rennen müsste Rudi mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99,9 % mindestens einen Sieg zu erringen?
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="TÜV" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
--In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
--Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
--a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
--b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?
++{{aufgabe id="Nüsse" afb="III" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Helmut Diehl, Frenzen" tags="problemlösen"}}
++Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.
++
++Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so ◡ oder so ◠ liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
++Zwei Nussschalen liegen ◡ ◡ oder ◠ ◠ oder eine ◡ und die andere ◠.
++Der Fall ◠ ◠ kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle (◡◡ und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.
++
++Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine halbe Nussschale in die Lage ◡ fällt.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Kugeln hinzufügen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
++{{aufgabe id="Kugeln hinzufügen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" tags="problemlösen"}}
  In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
  Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
  a) genau {{formula}}\frac{70}{183}{{/formula}} ist?		b) höchstens 0,4 ist?		c) mindestens 0,5 ist?
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Raucher" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
--Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
--Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:
++{{aufgabe id="Nimm Zwei" afb="III" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Dr. Günther Beikert" zeit="15"}}
++Lisas Mutter hat eine große Bonbontüte mit gelben und orangefarbenen Bonbons.
--(%class="border slim"%)
--|=|=Raucher|=Nichtraucher|
--|=Frauen|||
--|=Männer|||
--| |||
++Sie erklärt Lisa: "Wenn Du blind hineingreifst, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du ein gelbes erwischst, genau 50 Prozent."
--Berechne
--(%class=abc%)
--1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
--1. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
--1. wie viel Prozent der Männer rauchen,
--1. wie viel Prozent der Frauen rauchen
--{{/aufgabe}}
++Lisa fragt: "Ich will aber zwei nehmen. Liegt die Wahrscheintlichkeit für zwei gelbe auch bei 50 Prozent?"
--{{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Mengen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
--In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
--(% class=abc %)
--1. Zeige, dass die Ereignisse {{formula}}A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace {{/formula}} und {{formula}}B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace {{/formula}} stochastisch abhängig sind.
--1. Gib ein weiteres von //A// stochastisch abhängiges Ereignis //C// und ein von //A// stochastisch unabhängiges Ereignis //D// an.
++Die Mutter antwortet: "Das wäre möglich, aber nur dann, wenn ich die Tüte vorher noch mit 50 weiteren gelben Bonbons auffülle."
++
++Lisa grinst ihre Mutter an: "Dann weiß ich jetzt, wieviele orangefarbene Bonbons in der Tüte sind."
++
++Erläutere Lisas Überlegungen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" tags="problemlösen"}}
--In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
--(% class=abc %)
--1. Gib ein Ereignis //E// an mit Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(E)=\frac{1}{7}{{/formula}}.
--1. Begründe, warum zwei Ereignisse //F// und //G// mit {{formula}}P(F)=P(G)=0{,}8{{/formula}} stets stochastisch abhängig sind.
++{{lehrende}}
++Hier fehlen evtl. noch Aufgaben zu Laplace-Formel, Gegenereigniss
++{{/lehrende}}
++
++== Additionssatz ==
++
++{{aufgabe id="Sportarten" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="10"}}
++In einer Klasse mit 30 Jugendlichen spielen 18 regelmäßig Fußball (F) und 12 spielen Basketball (B). 5 Jugendliche spielen sogar beides.
++(%class=abc%)
++1. Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen für diesen Sachverhalt.
++1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(F){{/formula}}, {{formula}}P(B){{/formula}} und {{formula}}P(F \cap B){{/formula}}.
++1. Berechne mit dem Additionssatz die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Fußball oder Basketball spielt ({{formula}}P(F \cup B){{/formula}}).
++1. Erkläre in einem Satz anhand der Vierfeldertafel, warum man bei der Berechnung von "Fußball oder Basketball" die Jugendlichen, die beides spielen, abziehen muss.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Marathonlauf" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Abitur 2024" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Marathonlauf" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Abitur 2024"}}
  Von den Teilnehmern, die bei einem Marathonlauf nicht im Ziel angekommen sind, haben
  * 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
  * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
@@ -147,17 +147,59 @@
 . Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" kompetenzen="K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_14.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
--Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt //p//. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.
--1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
--1. (((Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
--E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
--G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
--Ermittle eine Gleichung, die die Variable //p// enthält und die Berechnung des Werts von //p// ermöglicht.
--)))
++== Bedingte Wahrscheinlichkeit ==
++
++{{aufgabe id="Formulierungen" afb="I" quelle="Holger Engels" kompetenzen="" zeit="2"}}
++Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).
++(%class=abc%)
++1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
++1. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
++1. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Kugelbehälter" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_18.pdf]]" niveau="g" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
++{{aufgabe id="Instagram" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Hogir Geçer, Holger Engels" zeit="5"}}
++Definiert sind die Ereignisse
++    I: “nutzt täglich Instagram”   und
++    W: “ist weiblich”
++(%class=abc%)
++1. Beschreibe die Bedeutung der Wahrscheinlichkeiten //P,,W,,(I)//, //P,,I,,(W)// und //P(W ∩ I)// im Sachkontext.
++1. Erkläre insbesondere den Unterschied zwischen //P,,W,,(I)// und //P(W ∩ I)//
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Grippe-Schnelltest" quelle="Holger Engels" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" zeit="16"}}
++Ein neuer Grippe-Schnelltest kommt auf den Markt. Der Hersteller gibt folgende Zuverlässigkeit an:
++* Wenn eine Person die Grippe hat, zeigt der Test in 90 % der Fälle korrekterweise "positiv" an.
++* Wenn eine Person gesund ist, zeigt der Test in 10 % der Fälle leider fälschlicherweise "positiv" an.
++
++Wir betrachten zwei unterschiedliche Situationen, in denen dieser Test eingesetzt wird:
++**Situation A (Arztpraxis):** Ein Patient kommt mit starkem Husten und Fieber in die Praxis. In der aktuellen Jahreszeit hat etwa dein Drittel der Patienten mit diesen Symptomen tatsächlich die Grippe (Prävalenz = 33 %). Der Test des Patienten ist positiv.
++
++**Situation B (Massentest):** Eine Schule führt bei allen 1.000 Schülerinnen und Schülern anlasslos einen Schnelltest durch, um unbemerkte Infektionen zu finden. Niemand hat Symptome. In dieser gesunden Gruppe haben schätzungsweise nur 2 % unbemerkt die Grippe (Prävalenz = 2 %). Der Test eines Schülers ist positiv.
++
++(%class=abc%)
++1. Berechne für beide Situationen die Wahrscheinlichkeit, dass die Person bei einem positiven Test tatsächlich die Grippe hat.
++1. Vergleiche die Ergebnisse. Erkläre die Aussagekraft eines positiven Testerbegnisses bei unterschiedlichen Prävalenzen.
++1. Erläutere, welche Eigenschaften ein Test haben muss, damit er für einen Massentest geeignet ist.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Stereotype & Vorurteile" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10"}}
++In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B sowie die Bedingung M angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingte Wahrscheinlichkeit.
++a) Formuliere in Worten, was P,,M,,(A) und P,,M,,(B) bedeutet.
++b) Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit größer ist.
++
++1. Eine Person postet fast täglich Workout-Videos und Ernährungstipps auf Instagram/TikTok. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person Profisportler ist oder dass die Person zwischen 14 bis 19 Jahre alt ist.
++1. Eine Person spielt täglich mehrere Stunden League of Legends oder Fortnite. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person Profi-Gamer ist oder dass die Person ein Schüler ist.
++1. Eine Person hat sehr gute Noten in Biologie und liebt Tiere. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person später Tierarzt wird oder dass die Person einfach Interesse am Fach hat, ohne diesen Berufswunsch zu haben.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="TÜV" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann"}}
++In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
++Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
++a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
++b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Kugelbehälter" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_18.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
  Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:
  * Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
@@ -173,6 +173,35 @@
  Weise dies nach und berechne {{formula}}w{{/formula}}, wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} hat.
  {{/aufgabe}}
++== Stochastische Unabhängigkeit ==
++
++{{aufgabe id="Kausalität" afb="III" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10"}}
++Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung von 100 Arbeitnehmer*innen nach Geschlecht und Arbeitslohn.
++(%class="border slim"%)
++|=|> 3.000€|≤ 3.000€|
++|=Frauen|20|40|60
++|=Männer|25|15|40
++| |45|55|100
++(%class=abc%)
++1. Prüfe, ob Geschlecht und Arbeitslohn stochastisch unabhängig sind.
++1. Formuliere in eigenen Worten, was das Ergebnis bedeutet.
++1. Diskutiere, warum stochastische Abhängigkeit nicht automatisch Kausalität bedeutet.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Mengen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Niklas Wunder"}}
++In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
++(% class=abc %)
++1. Zeige, dass die Ereignisse {{formula}}A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace {{/formula}} und {{formula}}B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace {{/formula}} stochastisch abhängig sind.
++1. Gib ein weiteres von //A// stochastisch abhängiges Ereignis //C// und ein von //A// stochastisch unabhängiges Ereignis //D// an.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Niklas Wunder" tags="problemlösen"}}
++In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
++(% class=abc %)
++1. Gib ein Ereignis //E// an mit Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(E)=\frac{1}{7}{{/formula}}.
++1. Begründe, warum zwei Ereignisse //F// und //G// mit {{formula}}P(F)=P(G)=0{,}8{{/formula}} stets stochastisch abhängig sind.
++{{/aufgabe}}
++
  {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Vierfeldertafel" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Thomas Hermann" zeit="10min"}}
  Gegeben sind die Ereignisse {{formula}}M=\{ist\,männlich\}{{/formula}} und {{formula}}KI=\{benutzt\,Künstliche\,Intelligenz\}{{/formula}} und die folgende unvollständige Vierfeldertafel:
@@ -188,14 +188,4 @@
 . die Ereignisse M und KI stochastisch abhängig sind.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Sabas Geburtstag" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Dr. Günther Beikert" zeit="15 min"}}
--Ein Tag, an dem es weder regnet noch stürmt, heißt Glückstag. Saba hat im Februar Geburtstag. Im Februar 2026 war jeder zweite Tag ein Glückstag, obwohl es an 20 Tagen geregnet und an 15 Tagen gestürmt hat.
--(%class=abc%)
--1. Ermittle, an wievielen Tagen es weder geregnet noch gestürmt hat.
--1. 2026 hat es an Sabas Geburtstag nicht geregnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Tag ein Glückstag war.
--1. Stelle den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
--{{/aufgabe}}
--
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Änderungen von Dokument BPE 17.3 Baumdiagramm, Vierfeldertafel, Additionssatz und Bedingte Wahrscheinlichkeit

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