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Version 53.3 von Holger Engels am 2026/06/28 21:47
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 Ich kann stochastische Sachverhalte mittels Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen.
4 Ich kann in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln enthaltenen Informationen interpretieren.
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6 Ich kann die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und Ereignissen mit geeigneten Methoden berechnen.
7 Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.
8 Ich kann Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen.
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10 Laplace-Formel, Gegenereigniss, 3-Mal-Mindestens-Aufgaben, Additionssatz
11
12 == Baumdiagramm und Vierfeldertafel ==
13
14 {{aufgabe id="Raucher" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" tags="problemlösen"}}
15 Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
16 Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:
17
18 (%class="border slim"%)
19 |=|=Raucher|=Nichtraucher|
20 |=Frauen|||
21 |=Männer|||
22 | |||
23
24 Berechne
25 (%class=abc%)
26 1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
27 1. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
28 1. wie viel Prozent der Männer rauchen,
29 1. wie viel Prozent der Frauen rauchen
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Sabas Geburtstag" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Dr. Günther Beikert" zeit="15 min"}}
33 Ein Tag, an dem es weder regnet noch stürmt, heißt Glückstag. Saba hat im Februar Geburtstag. Im Februar 2026 war jeder zweite Tag ein Glückstag, obwohl es an 10 Tagen geregnet und an 8 Tagen gestürmt hat.
34 (%class=abc%)
35 1. Ermittle, an wievielen Tagen im Februar 2026 es geregnet und gestürmt hat.
36 1. 2026 hat es an Sabas Geburtstag nicht geregnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Tag ein Glückstag war.
37 1. Stelle den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
38 {{/aufgabe}}
39
40 {{aufgabe id="Hölzchen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" zeit="10"}}
41 Tina hält in der Hand lange und kurze Hölzchen. Marc und Stefan ziehen zufällig abwechselnd je ein Hölzchen (ohne Zurücklegen). Sobald einer ein langes Hölzchen zieht, hat er gewonnen und darf mit Tina ausgehen.
42 (%class=abc%)
43 1. Tina hat 3 kurze und 1 langes Hölzchen. Marc beginnt. Stefan glaubt, er sei im Nachteil, weil er erst als zweiter zieht. Untersuche, ob Stefan recht hat.
44 1. Am nächsten Tag wird das Spiel wiederholt. Tina möchte nun Marc begünstigen. Hanna rät ihr: „Nimm 3 lange und 2 kurze Hölzchen und lass Marc anfangen.“ Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Tina mit Marc ausgeht.
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" kompetenzen="K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_14.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
48 Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt //p//. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.
49 1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
50 1. (((Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
51 E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
52 G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
53 Ermittle eine Gleichung, die die Variable //p// enthält und die Berechnung des Werts von //p// ermöglicht.
54 )))
55 {{/aufgabe}}
56
57 {{aufgabe id="Kugeln ziehen" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen"}}
58 In einer Urne sind 4 blaue, 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es wird zufällig gezogen ohne Zurücklegen und die jeweilige Farbe notiert. Wenn eine blaue Kugel gezogen wird ist Schluß, spätestens jedoch, wenn dreimal gezogen wurde.
59 (%class=abc%)
60 1. Gib einen möglichen Ergebnisraum an und skizziere das zugehörige Baumdiagramm.
61 1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
62 (%class=noborder%)
63 |{{formula}}A=\lbrace{{/formula}} Es wird dreimal gezogen. {{formula}} \rbrace {{/formula}}|{{formula}}B=\lbrace{{/formula}} Die zweite gezogene Kugel ist blau. {{formula}} \rbrace {{/formula}}
64 |{{formula}}C = A \cap B {{/formula}}|{{formula}}D = A \cup B {{/formula}}
65 {{/aufgabe}}
66
67 {{aufgabe id="Mogeln" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
68 In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
69
70 Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
71 {{/aufgabe}}
72
73 {{aufgabe id="Rennen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann"}}
74 Zu Beginn der Saison ist Rudi der stärkste Rennfahrer; seine Chance ein Rennen zu gewinnen liegt bei p = 0,6. Rudi nimmt in dieser Saison nur an 6 Rennen teil.
75 An wie vielen Rennen müsste Rudi mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99,9 % mindestens einen Sieg zu erringen?
76 {{/aufgabe}}
77
78 {{aufgabe id="Nüsse" afb="III" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Helmut Diehl, Frenzen" tags="problemlösen"}}
79 Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.
80
81 Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so ◡ oder so ◠ liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
82 Zwei Nussschalen liegen ◡ ◡ oder ◠ ◠ oder eine ◡ und die andere ◠.
83 Der Fall ◠ ◠ kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle (◡◡ und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.
84
85 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine halbe Nussschale in die Lage ◡ fällt.
86 {{/aufgabe}}
87
88 {{aufgabe id="Kugeln hinzufügen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" tags="problemlösen"}}
89 In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
90 Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
91 a) genau {{formula}}\frac{70}{183}{{/formula}} ist? b) höchstens 0,4 ist? c) mindestens 0,5 ist?
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Nimm Zwei" afb="III" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Dr. Günther Beikert" zeit="15"}}
95 Lisas Mutter hat eine große Bonbontüte mit gelben und orangefarbenen Bonbons.
96
97 Sie erklärt Lisa: "Wenn Du blind hineingreifst, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du ein gelbes erwischst, genau 50 Prozent."
98
99 Lisa fragt: "Ich will aber zwei nehmen. Liegt die Wahrscheintlichkeit für zwei gelbe auch bei 50 Prozent?"
100
101 Die Mutter antwortet: "Das wäre möglich, aber nur dann, wenn ich die Tüte vorher noch mit 50 weiteren gelben Bonbons auffülle."
102
103 Lisa grinst ihre Mutter an: "Dann weiß ich jetzt, wieviele orangefarbene Bonbons in der Tüte sind."
104
105 Erläutere Lisas Überlegungen.
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{lehrende}}
109 Hier fehlen evtl. noch Aufgaben zu Laplace-Formel, Gegenereigniss
110 {{/lehrende}}
111
112 == Additionssatz ==
113
114 {{aufgabe id="Sportarten" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="10"}}
115 In einer Klasse mit 30 Jugendlichen spielen 18 regelmäßig Fußball (F) und 12 spielen Basketball (B). 5 Jugendliche spielen sogar beides.
116 (%class=abc%)
117 1. Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen für diesen Sachverhalt.
118 1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(F){{/formula}}, {{formula}}P(B){{/formula}} und {{formula}}P(F \cap B){{/formula}}.
119 1. Berechne mit dem Additionssatz die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Fußball oder Basketball spielt ({{formula}}P(F \cup B){{/formula}}).
120 1. Erkläre in einem Satz anhand der Vierfeldertafel, warum man bei der Berechnung von "Fußball oder Basketball" die Jugendlichen, die beides spielen, abziehen muss.
121 {{/aufgabe}}
122
123 {{aufgabe id="Marathonlauf" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Abitur 2024"}}
124 Von den Teilnehmern, die bei einem Marathonlauf nicht im Ziel angekommen sind, haben
125 * 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
126 * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
127 * 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“
128 den Lauf abgebrochen.
129
130 (% class=abc %)
131 1. Berechne den Anteil derer, die den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
132 1. Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
133 {{/aufgabe}}
134
135 == Bedingte Wahrscheinlichkeit ==
136
137 {{aufgabe id="Formulierungen" afb="I" quelle="Holger Engels" kompetenzen="" zeit="2"}}
138 Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).
139 (%class=abc%)
140 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
141 1. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
142 1. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.
143 {{/aufgabe}}
144
145 {{aufgabe id="Bedingungen vertauschen" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10"}}
146 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingten Wahrhscheinlichkeiten in beide Richtungen.
147 (%class=abc%)
148 1. Formuliere in Worten, was P,,B,,(A) und P,,A,,(B) bedeutet.
149 1. Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit groß und welche klein ist.
150
151 1. P,,Person ist Vater,,(Person ist Mann) vs. P,,Person ist Mann,,(Person ist Vater)
152 1. P,,Schülerin besucht Mathe-LK,,(Schülerin hat gute Mathe-Note) vs. P,,Schüler hat gute Mathe-Note,,(Schülerin besucht Mathe-LK)
153 1. P,,es regnet,,(Straße ist nass) vs. P,,Straße ist nass,,(es regnet)
154 1. P,,Passagier fliegt heute,,(Passagier passiert Sicherheitskontrolle) vs. P,,Passagier passiert Sicherheitskontrolle,,(Passagier fliegt heute)
155 {{/aufgabe}}
156
157 {{aufgabe id="Bezugsgröße der Bedingung" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10"}}
158 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B sowie die Bedingung M angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingte Wahrscheinlichkeit.
159 a) Formuliere in Worten, was P,,M,,(A) und P,,M,,(B) bedeutet.
160 b) Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit größer ist.
161
162 1. Ein Mann hört gerne klassische Musik. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass der Mann ein LKW-Fahrer ist oder dass der Mann ein Literaturprofessor ist.
163 2. Eine Person joggt regelmäßig. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Profisportler ist oder dass die Person 18-25 Jahre alt ist.
164 3. Eine Person isst sehr gerne Gemüse. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Fußballprofi ist oder dass die Person ein Rentner ist.
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{aufgabe id="TÜV" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Beckstette, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann"}}
168 In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
169 Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
170 a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
171 b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?
172 {{/aufgabe}}
173
174 {{aufgabe id="Kugelbehälter" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_18.pdf]]" niveau="g" niveau="e" tags="iqb"}}
175 Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:
176
177 * Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
178 * Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.
179 * Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit {{formula}}w{{/formula}} bezeichnet wird.
180
181 Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen. Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter C ausgewählt wurde, mit dem Term
182
183 {{formula fontSize="larger"}}\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
184
185 berechnet werden.
186
187 Weise dies nach und berechne {{formula}}w{{/formula}}, wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} hat.
188 {{/aufgabe}}
189
190 == Stochastische Unabhängigkeit ==
191
192 {{aufgabe id="Kausalität" afb="III" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10"}}
193 Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung von 100 Arbeitnehmer*innen nach Geschlecht und Arbeitslohn.
194 (%class="border slim"%)
195 |=|> 3.000€|≤ 3.000€|
196 |=Frauen|20|40|60
197 |=Männer|25|15|40
198 | |45|55|100
199 (%class=abc%)
200 1. Prüfe, ob Geschlecht und Arbeitslohn stochastisch unabhängig sind.
201 1. Formuliere in eigenen Worten, was das Ergebnis bedeutet.
202 1. Diskutiere, warum stochastische Abhängigkeit nicht automatisch Kausalität bedeutet.
203 {{/aufgabe}}
204
205 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Mengen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Niklas Wunder"}}
206 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
207 (% class=abc %)
208 1. Zeige, dass die Ereignisse {{formula}}A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace {{/formula}} und {{formula}}B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace {{/formula}} stochastisch abhängig sind.
209 1. Gib ein weiteres von //A// stochastisch abhängiges Ereignis //C// und ein von //A// stochastisch unabhängiges Ereignis //D// an.
210 {{/aufgabe}}
211
212 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Niklas Wunder" tags="problemlösen"}}
213 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
214 (% class=abc %)
215 1. Gib ein Ereignis //E// an mit Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(E)=\frac{1}{7}{{/formula}}.
216 1. Begründe, warum zwei Ereignisse //F// und //G// mit {{formula}}P(F)=P(G)=0{,}8{{/formula}} stets stochastisch abhängig sind.
217 {{/aufgabe}}
218
219 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Vierfeldertafel" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Thomas Hermann" zeit="10min"}}
220 Gegeben sind die Ereignisse {{formula}}M=\{ist\,männlich\}{{/formula}} und {{formula}}KI=\{benutzt\,Künstliche\,Intelligenz\}{{/formula}} und die folgende unvollständige Vierfeldertafel:
221
222 (%class="border slim"%)
223 ||={{formula}}M{{/formula}}|={{formula}}\overline{M}{{/formula}}|
224 |={{formula}}KI{{/formula}}|{{formula}}0,25{{/formula}}||
225 |={{formula}}\overline{KI}{{/formula}}|||
226 | |{{formula}}0,7{{/formula}}||1
227
228 Ermittle die Einträge der Vierfeldertafel, so dass:
229 (%class=abc%)
230 1. die Ereignisse M und KI stochastisch unabhängig sind bzw.
231 1. die Ereignisse M und KI stochastisch abhängig sind.
232 {{/aufgabe}}
233
234 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="1"/}}