Lösung Stochastische Unabhängigkeit Mengen

a) Für stochastische Unabhängigkeit gilt es zu überprüfen, ob \(P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gilt. Es gilt \(A \cap B=\lbrace 9,10,14 \rbrace\), da diese drei Zahlen sowohl in \(A\) als auch \(B \) vorkommen. Man errechnet damit \( P(A \cap B)=\frac{3}{14}\) und \(P(A)\cdot P(B)= \frac{7}{14}\cdot \frac{7}{14}=\frac{1}{4}\). Da \( P(A \cap B)=\frac{3}{14} \neq \frac{1}{4} \cdot P(A)\cdot P(B) \) zu unterschiedlichen Ergebnissen führt sind die beiden Ereignisse stochastisch abhängig.
b) Hier sind viele Lösungen möglich, z.B. \( C = \lbrace 8\rbrace \) und \( D= \Omega\).
c) Man kann z.B. \(E=\lbrace 10,14\rbrace\) nehmen, also eine Menge mit zwei Elementen, die auch in \(A\) sind. Damit gilt \(P(E)=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}\) \(P(E \cap A)=\frac{1}{14}= \frac{1}{7}\cdot \frac{7}{14}=P(E)\cdot P(A) \).
d) Dies ist unmöglich, da \(P(F)\cdot P(G)=0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64\) ist und es keinen Vierzehntel Bruch gibt mit dem man exakt \(0{,}64\) erhält.