Änderungen von Dokument Lösung Zufallsgröße Tetraeder

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -1,36 +1,22 @@
1		-**Hinweise und Lösungshilfen**
	1	+1. (((
	2	+
	3	+[[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250"]]
2	2
3		-__Hinweis Teilaufgabe a)__
4		-Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} den Nicht-Treffer darstellt und umgekehrt.
5		-Folglich können Symmetrieeigenschaften verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu zeichnen.
	5	+**Erläuterung:**
6	6
7		-__Hinweis Teilaufgabe b)__
8		-Damit die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden binomialverteilten Zufallsgrößen {{formula}}X{{/formula}} und {{formula}}Z{{/formula}} identisch sein können, müssen die Parameter {{formula}}n{{/formula}} und {{formula}}p{{/formula}} gleich sein.
9		-
10		-__Hinweis Teilaufgabe c)__
11		-
12		-Der Parameter {{formula}}n=4{{/formula}} ist bei beiden Zufallsgrößen bereits gleich.
13		-Wie kann {{formula}}Z{{/formula}} formuliert werden, damit auch die Trefferwahrscheinlichkeiten {{formula}}p{{/formula}} identisch sind?
14		-
15		-
16		-__Lösung__:
17		-
18		-1. [[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
19		-
20		-Erläuterung:
21		-
22	22	Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} als Nicht-Treffer gezählt wird und umgekehrt.
23	23	Es gilt also: {{formula}}P(Y=0)=P(X=4); \ P(Y=1)=P(X=3); \ P(Y=2)=P(X=2){{/formula}} usw.
24	24	Folglich kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}X{{/formula}} an der vertikalen Geraden durch {{formula}}k=2{{/formula}} gespiegelt werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu erhalten.
25	25
26	26	[[image:Abb1ZufallsgroesseTetraeder.png||width="300"]][[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250"]]
	12	+)))
	13	+2. (((
	14	+{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.
27	27
28		-2. {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.
	16	+**Erläuterung:**
29	29
30		-Erläuterung:
31		-
32	32	Wir benötigen eine Zufallsgröße {{formula}}Z{{/formula}} mit {{formula}}n=4{{/formula}} und {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}}, denn das sind die Parameter von {{formula}}X{{/formula}}.
33	33	{{formula}}n=4{{/formula}} ist bei {{formula}}Z{{/formula}} schon vorausgesetzt (siehe Aufgabenstellung, „viermaliges Werfen“).
34	34	Zu überlegen ist also, wie man einen Treffer festlegt, dessen Trefferwahrscheinlichkeit {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}} beträgt. Da die beiden Würfel farblich unterscheidbar sind, ist das einmalige Würfeln mit beiden Würfeln ein Laplace-Experiment, denn wenn beispielsweise das Ergebnis {{formula}}14{{/formula}} bedeutet, dass der rote Würfel eine {{formula}}1{{/formula}}zeigt und der grüne Würfel eine {{formula}}4{{/formula}}, dann lautet die Ergebnismenge {{formula}}S=\{11,12,13,\dots,21,22,23,\dots, 65,66\}{{/formula}} und jedes darin enthaltene Ergebnis ist gleich wahrscheinlich. Diese Ergebnismenge enthält {{formula}}6^2=36{{/formula}} Ergebnisse, also müssen wir als Treffer ein Ereignis festlegen, das {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse enthält, damit wir auf {{formula}}p=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}{{/formula}} kommen. Das Ereignis „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“ beinhaltet tatsächlich {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse: {{formula}}E=\{11,12,13,21,22,23,31,32,33\}{{/formula}}
35	35	Also können wir das Treffer-Ereignis festlegen als „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“.
36		-
	22	+)))