Änderungen von Dokument Lösung Zufallsgröße Tetraeder

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,22 +1,41 @@
1		-1. (((
2		-
3		-[[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250"]]
	1	+**Hinweise und Lösungshilfen**
4	4
5		-**Erläuterung:**
	3	+__Hinweis Teilaufgabe a)__
	4	+Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} den Nicht-Treffer darstellt und umgekehrt.
	5	+Folglich können Symmetrieeigenschaften verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu zeichnen.
6	6
	7	+__Hinweis Teilaufgabe b)__
	8	+Damit die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden binomialverteilten Zufallsgrößen {{formula}}X{{/formula}} und {{formula}}Z{{/formula}} identisch sein können, müssen die Parameter {{formula}}n{{/formula}} und {{formula}}p{{/formula}} gleich sein.
	9	+
	10	+__Hinweis Teilaufgabe c)__
	11	+
	12	+Der Parameter {{formula}}n=4{{/formula}} ist bei beiden Zufallsgrößen bereits gleich.
	13	+Wie kann {{formula}}Z{{/formula}} formuliert werden, damit auch die Trefferwahrscheinlichkeiten {{formula}}p{{/formula}} identisch sind?
	14	+
	15	+
	16	+__Lösung__:
	17	+
	18	+1. [[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	19	+
	20	+Erläuterung:
	21	+
7	7	Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} als Nicht-Treffer gezählt wird und umgekehrt.
8	8	Es gilt also: {{formula}}P(Y=0)=P(X=4); \ P(Y=1)=P(X=3); \ P(Y=2)=P(X=2){{/formula}} usw.
9	9	Folglich kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}X{{/formula}} an der vertikalen Geraden durch {{formula}}k=2{{/formula}} gespiegelt werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu erhalten.
10	10
11	11	[[image:Abb1ZufallsgroesseTetraeder.png||width="300"]][[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250"]]
12		-)))
13	13
14		-2. ((( {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.
	28	+2. {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.
15	15
16		-**Erläuterung:**
	30	+Erläuterung:
17	17
18	18	Wir benötigen eine Zufallsgröße {{formula}}Z{{/formula}} mit {{formula}}n=4{{/formula}} und {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}}, denn das sind die Parameter von {{formula}}X{{/formula}}.
19	19	{{formula}}n=4{{/formula}} ist bei {{formula}}Z{{/formula}} schon vorausgesetzt (siehe Aufgabenstellung, „viermaliges Werfen“).
20		-Zu überlegen ist also, wie man einen Treffer festlegt, dessen Trefferwahrscheinlichkeit {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}} beträgt. Da die beiden Würfel farblich unterscheidbar sind, ist das einmalige Würfeln mit beiden Würfeln ein Laplace-Experiment, denn wenn beispielsweise das Ergebnis {{formula}}14{{/formula}} bedeutet, dass der rote Würfel eine {{formula}}1{{/formula}}zeigt und der grüne Würfel eine {{formula}}4{{/formula}}, dann lautet die Ergebnismenge {{formula}}S=\{11,12,13,\dots,21,22,23,\dots, 65,66\}{{/formula}} und jedes darin enthaltene Ergebnis ist gleich wahrscheinlich. Diese Ergebnismenge enthält {{formula}}6^2=36{{/formula}} Ergebnisse, also müssen wir als Treffer ein Ereignis festlegen, das {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse enthält, damit wir auf {{formula}}p=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}{{/formula}} kommen. Das Ereignis „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“ beinhaltet tatsächlich {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse: {{formula}}E=\{11,12,13,21,22,23,31,32,33\}{{/formula}}
	34	+Zu überlegen ist also, wie man einen Treffer festlegt, dessen Trefferwahrscheinlichkeit {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}} beträgt. Da die beiden Würfel farblich unterscheidbar sind, ist das einmalige Würfeln mit beiden Würfeln ein Laplace-Experiment, denn wenn beispielsweise das Ergebnis {{formula}}14{{/formula}} bedeutet, dass der rote Würfel eine {{formula}}1{{/formula}} zeigt und der grüne Würfel eine {{formula}}4{{/formula}}, dann lautet die Ergebnismenge
	35	+{{formula}}S={11,12,13,…,21,22,23,…65,66}{{/formula}}
	36	+und jedes darin enthaltene Ergebnis ist gleich wahrscheinlich.
	37	+Diese Ergebnismenge enthält {{formula}}6^2=36{{/formula}} Ergebnisse, also müssen wir als Treffer ein Ereignis festlegen, das {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse enthält, damit wir auf {{formula}}p=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}{{/formula}} kommen.
	38	+Das Ereignis „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“ beinhaltet tatsächlich {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse:
	39	+{{formula}}E={11,12,13,21,22,23,31,32,33}{{/formula}}
21	21	Also können wir das Treffer-Ereignis festlegen als „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“.
22		-)))
	41	+