Zum Inhalt springen
Version 4.1 von akukin am 2024/10/15 16:18
Zeige letzte Bearbeiter
1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}P\left(X=14\right)=0{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsgröße einen exakten Wert annimmt, ist immer null.
9 <br>
10 <br>
11 Ist die Dichtefunktion bekannt, so können Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden, indem man den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der x-Achse in einem Intervall bestimmt, was gleichbedeutend damit ist, das Integral über die Dichtefunktion in diesem Intervall zu berechnen.
12 <br>
13 <br>
14 Die Fläche, deren Inhalt der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert der Zufallsgröße entspräche, hätte die Breite null; das Integral hätte zwei identische Intervallgrenzen.
15
16 {{/detail}}
17
18
19 === Teilaufgabe 2 ===
20 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21 Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=18{{/formula}} und {{formula}}x=20{{/formula}} einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt eines Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(18\le X\le20\right){{/formula}} etwa 0,12. Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich
22 {{formula}}P\left(\left|X-20\right|>2\right)=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right){{/formula}}
23
24 {{/detail}}
25
26
27 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
28 [[image:LoesungNormalverteilungblau.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
29 Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse zwischen {{formula}}x=18{{/formula}} und {{formula}}x=20{{/formula}} einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt des eingezeichneten blauen Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(18\le X\le20\right){{/formula}} etwa 0,12.
30 <br>
31 <br>
32 In der Aufgabenstellung ist jedoch die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(\left|X-20\right|>2\right){{/formula}} gefragt, die zur rot eingezeichneten Fläche gehört:
33 [[image:LoesungNormalverteilungblaurot.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
34
35 <br>
36 Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich
37 <br>
38
39 {{formula}}
40 \begin{align}
41 \text{Rot} &= 1-2\cdot \text{Blau} \\
42 P\left(\left|X-20\right|>2\right) &=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right)
43 \end{align}
44 {{/formula}}
45
46 {{/detail}}