Lösung Gaußverteilung im Sachzusammenhang

Das Maximum der Glockenkurve liegt genau beim Erwartungswert. Vergleicht man die Funktion \(f(x)\) mit der allgemeinen Form der Gaußschen Glockenfunktion \(\varphi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\), lässt sich der Erwartungswert direkt ablesen: \(\mu=20\).
Den zugehörigen y-Wert erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(20)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^0=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}0997\). Der Hochpunkt ist somit \(H(20 \mid 0{,}0997)\).

Wendepunkte: Die Wendepunkte der Normalverteilung liegen exakt eine Standardabweichung nach links und rechts vom Erwartungswert (\(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\)). Auch die Standardabweichung lässt sich durch Vergleich mit der allgemeinen Form ablesen: \(\sigma=4\).
Die Wendestellen sind demnach bei \(x_1 = 16\) und \(x_2 = 24\). Für die zugehörigen Funktionswerte gilt: \(f(16)=f(24)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}0605\).
Die Wendepunkte sind also näherungsweise: \(W_1(16 \mid 0{,}0605)\) und \(W_2(24 \mid 0{,}0605)\).

Die Grenzen des Integrals liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.
Für eine Normalverteilung gilt nach den Sigma-Regeln in der Merkhilfe:
\(P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683\)
Daher ist:
\(\int_{16}^{24}f(x),\mathrm{d}x\approx 0{,}683\)