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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/08/23 19:34
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 [[image:Dichtefunktion.svg||width="400"]]
4 Das Maximum der Glockenkurve liegt genau beim Erwartungswert. Vergleicht man die Funktion {{formula}}f(x){{/formula}} mit der allgemeinen Form der Gaußschen Glockenfunktion {{formula}}\varphi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}{{/formula}}, lässt sich der Erwartungswert direkt ablesen: {{formula}}\mu=20{{/formula}}.
5 Den zugehörigen y-Wert erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: {{formula}}f(20)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^0=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}0997{{/formula}}. Der Hochpunkt ist somit {{formula}}H(20 \mid 0{,}0997){{/formula}}.
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7 Wendepunkte: Die Wendepunkte der Normalverteilung liegen exakt eine Standardabweichung nach links und rechts vom Erwartungswert ({{formula}}\mu - \sigma{{/formula}} und {{formula}}\mu + \sigma{{/formula}}). Auch die Standardabweichung lässt sich durch Vergleich mit der allgemeinen Form ablesen: {{formula}}\sigma=4{{/formula}}.
8 Die Wendestellen sind demnach bei {{formula}}x_1 = 16{{/formula}} und {{formula}}x_2 = 24{{/formula}}. Für die zugehörigen Funktionswerte gilt: {{formula}}f(16)=f(24)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}0605{{/formula}}.
9 Die Wendepunkte sind also näherungsweise: {{formula}}W_1(16 \mid 0{,}0605){{/formula}} und {{formula}}W_2(24 \mid 0{,}0605){{/formula}}.)))
10 1. (((Die Grenzen des Integrals liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.
11 Für eine Normalverteilung gilt nach den Sigma-Regeln in der Merkhilfe:
12 {{formula}}P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683{{/formula}}
13 Daher ist:
14 {{formula}}\int_{16}^{24}f(x),\mathrm{d}x\approx 0{,}683{{/formula}})))
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