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Lösung Lösen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/03/01 21:04

  1. \(\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ x + 2y - z &= 2 \end{aligned}\)
     
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right)\)

    Schritt 1: Wir erzeugen Nullen in der ersten Spalte unterhalb der 1. (Zeile II - 2*I und Zeile III - I)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right)\)

    Schritt 2: Zur einfacheren Rechnung tauschen wir Zeile II und III.
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{array} \right)\)

    Schritt 3: Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte. (Zeile III + 3*II)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right)\)

    Rückwärtseinsetzen:

    • Aus III: \(-7z = -21 \Rightarrow z = 3\)
    • Aus II: \(y - 2(3) = -4 \Rightarrow y - 6 = -4 \Rightarrow y = 2\)
    • Aus I: \(x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1\)
    • Lösungsmenge: \(L = \{(1, 2, 3)\}\)
       

  2. \(\begin{aligned} x + y - z &= 1 \\ -x + 2y + z &= 2 \\ -x + 5y + z &= 5 \end{aligned}\)
     
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & 5 & 1 & 5 \end{array} \right)\)

    Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II + I und Zeile III + I)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 6 \end{array} \right)\)

    Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - 2*II)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

    Rückwärtseinsetzen:

    • Die letzte Zeile ist eine Nullzeile (\(0 = 0\)). Wir wählen \(z = t\) als freien Parameter.
    • Aus II: \(3y = 3 \Rightarrow y = 1\)
    • Aus I: \(x + 1 - t = 1 \Rightarrow x - t = 0 \Rightarrow x = t\)
    • Lösungsmenge: \(L = \{(t, 1, t) \mid t \in \mathbb{R}\}\)
       

  3. \(\begin{aligned} x + y &= 3 \\ 2x - y &= 3 \\ 3x + y &= 7 \end{aligned}\)
     
    \(\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 7 \end{array} \right)\)

    Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - 2*I und Zeile III - 3*I)
    \(\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & -2 \end{array} \right)\)

    Schritt 2: Wir teilen Zeile II durch -3 und Zeile III durch -2, um es zu vereinfachen.
    \(\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)\)

    Schritt 3: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
    \(\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

    Rückwärtseinsetzen:

    • Aus II: \(y = 1\)
    • Aus I: \(x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2\)
    • Lösungsmenge: \(L = \{(2, 1)\}\)
       

  4. \(\begin{aligned} x + y + z &= 2 \\ x + 2y - z &= 3 \\ 2x + 3y &= 10 \end{aligned}\)
     
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 10 \end{array} \right)\)

    Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - I und Zeile III - 2*I)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 6 \end{array} \right)\)

    Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right)\)

    Auswertung:

    • In der letzten Zeile steht \(0x + 0y + 0z = 5\), also \(0 = 5\). Das ist ein mathematischer Widerspruch. Das System hat somit keine Lösung.
    • Lösungsmenge: \(L = \{\}\)