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Wiki-Quellcode von Lösung Lösen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/03/01 21:04
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1 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
2 \begin{aligned}
3 x + y + z &= 6 \\
4 2x - y + z &= 3 \\
5 x + 2y - z &= 2
6 \end{aligned}
7 {{/formula}}
8
9 {{formula}}
10 \left(
11 \begin{array}{ccc|c}
12 1 & 1 & 1 & 6 \\
13 2 & -1 & 1 & 3 \\
14 1 & 2 & -1 & 2
15 \end{array}
16 \right)
17 {{/formula}}
18
19 Schritt 1: Wir erzeugen Nullen in der ersten Spalte unterhalb der 1. (Zeile II - 2*I und Zeile III - I)
20 {{formula}}
21 \left(
22 \begin{array}{ccc|c}
23 1 & 1 & 1 & 6 \\
24 0 & -3 & -1 & -9 \\
25 0 & 1 & -2 & -4
26 \end{array}
27 \right)
28 {{/formula}}
29
30 Schritt 2: Zur einfacheren Rechnung tauschen wir Zeile II und III.
31 {{formula}}
32 \left(
33 \begin{array}{ccc|c}
34 1 & 1 & 1 & 6 \\
35 0 & 1 & -2 & -4 \\
36 0 & -3 & -1 & -9
37 \end{array}
38 \right)
39 {{/formula}}
40
41 Schritt 3: Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte. (Zeile III + 3*II)
42 {{formula}}
43 \left(
44 \begin{array}{ccc|c}
45 1 & 1 & 1 & 6 \\
46 0 & 1 & -2 & -4 \\
47 0 & 0 & -7 & -21
48 \end{array}
49 \right)
50 {{/formula}}
51
52 Rückwärtseinsetzen:
53 * Aus III: {{formula}}-7z = -21 \Rightarrow z = 3{{/formula}}
54 * Aus II: {{formula}}y - 2(3) = -4 \Rightarrow y - 6 = -4 \Rightarrow y = 2{{/formula}}
55 * Aus I: {{formula}}x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1{{/formula}}
56
57 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(1, 2, 3)\}{{/formula}}
58
59 )))
60 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
61 \begin{aligned}
62 x + y - z &= 1 \\
63 -x + 2y + z &= 2 \\
64 -x + 5y + z &= 5
65 \end{aligned}
66 {{/formula}}
67
68 {{formula}}
69 \left(
70 \begin{array}{ccc|c}
71 1 & 1 & -1 & 1 \\
72 -1 & 2 & 1 & 2 \\
73 -1 & 5 & 1 & 5
74 \end{array}
75 \right)
76 {{/formula}}
77
78 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II + I und Zeile III + I)
79 {{formula}}
80 \left(
81 \begin{array}{ccc|c}
82 1 & 1 & -1 & 1 \\
83 0 & 3 & 0 & 3 \\
84 0 & 6 & 0 & 6
85 \end{array}
86 \right)
87 {{/formula}}
88
89 Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - 2*II)
90 {{formula}}
91 \left(
92 \begin{array}{ccc|c}
93 1 & 1 & -1 & 1 \\
94 0 & 3 & 0 & 3 \\
95 0 & 0 & 0 & 0
96 \end{array}
97 \right)
98 {{/formula}}
99
100 Rückwärtseinsetzen:
101 * Die letzte Zeile ist eine Nullzeile ({{formula}}0 = 0{{/formula}}). Wir wählen {{formula}}z = t{{/formula}} als freien Parameter.
102 * Aus II: {{formula}}3y = 3 \Rightarrow y = 1{{/formula}}
103 * Aus I: {{formula}}x + 1 - t = 1 \Rightarrow x - t = 0 \Rightarrow x = t{{/formula}}
104
105 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(t, 1, t) \mid t \in \mathbb{R}\}{{/formula}}
106
107 )))
108 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
109 \begin{aligned}
110 x + y &= 3 \\
111 2x - y &= 3 \\
112 3x + y &= 7
113 \end{aligned}
114 {{/formula}}
115
116 {{formula}}
117 \left(
118 \begin{array}{cc|c}
119 1 & 1 & 3 \\
120 2 & -1 & 3 \\
121 3 & 1 & 7
122 \end{array}
123 \right)
124 {{/formula}}
125
126 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - 2*I und Zeile III - 3*I)
127 {{formula}}
128 \left(
129 \begin{array}{cc|c}
130 1 & 1 & 3 \\
131 0 & -3 & -3 \\
132 0 & -2 & -2
133 \end{array}
134 \right)
135 {{/formula}}
136
137 Schritt 2: Wir teilen Zeile II durch -3 und Zeile III durch -2, um es zu vereinfachen.
138 {{formula}}
139 \left(
140 \begin{array}{cc|c}
141 1 & 1 & 3 \\
142 0 & 1 & 1 \\
143 0 & 1 & 1
144 \end{array}
145 \right)
146 {{/formula}}
147
148 Schritt 3: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
149 {{formula}}
150 \left(
151 \begin{array}{cc|c}
152 1 & 1 & 3 \\
153 0 & 1 & 1 \\
154 0 & 0 & 0
155 \end{array}
156 \right)
157 {{/formula}}
158
159 Rückwärtseinsetzen:
160 * Aus II: {{formula}}y = 1{{/formula}}
161 * Aus I: {{formula}}x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2{{/formula}}
162
163 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(2, 1)\}{{/formula}}
164
165 )))
166 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
167 \begin{aligned}
168 x + y + z &= 2 \\
169 x + 2y - z &= 3 \\
170 2x + 3y &= 10
171 \end{aligned}
172 {{/formula}}
173
174 {{formula}}
175 \left(
176 \begin{array}{ccc|c}
177 1 & 1 & 1 & 2 \\
178 1 & 2 & -1 & 3 \\
179 2 & 3 & 0 & 10
180 \end{array}
181 \right)
182 {{/formula}}
183
184 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - I und Zeile III - 2*I)
185 {{formula}}
186 \left(
187 \begin{array}{ccc|c}
188 1 & 1 & 1 & 2 \\
189 0 & 1 & -2 & 1 \\
190 0 & 1 & -2 & 6
191 \end{array}
192 \right)
193 {{/formula}}
194
195 Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
196 {{formula}}
197 \left(
198 \begin{array}{ccc|c}
199 1 & 1 & 1 & 2 \\
200 0 & 1 & -2 & 1 \\
201 0 & 0 & 0 & 5
202 \end{array}
203 \right)
204 {{/formula}}
205
206 Auswertung:
207 * In der letzten Zeile steht {{formula}}0x + 0y + 0z = 5{{/formula}}, also {{formula}}0 = 5{{/formula}}. Das ist ein mathematischer Widerspruch. Das System hat somit keine Lösung.
208
209 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{\}{{/formula}}
210 )))