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Wiki-Quellcode von Lösung Lösen

Version 1.1 von Holger Engels am 2026/03/01 21:01
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
2 \begin{aligned}
3 x + y + z &= 6 \\
4 2x - y + z &= 3 \\
5 x + 2y - z &= 2
6 \end{aligned}
7 {{/formula}}
8
9 Startmatrix:
10 {{formula}}
11 \left(
12 \begin{array}{ccc|c}
13 1 & 1 & 1 & 6 \\
14 2 & -1 & 1 & 3 \\
15 1 & 2 & -1 & 2
16 \end{array}
17 \right)
18 {{/formula}}
19
20 Schritt 1: Wir erzeugen Nullen in der ersten Spalte unterhalb der 1. (Zeile II - 2*I und Zeile III - I)
21 {{formula}}
22 \left(
23 \begin{array}{ccc|c}
24 1 & 1 & 1 & 6 \\
25 0 & -3 & -1 & -9 \\
26 0 & 1 & -2 & -4
27 \end{array}
28 \right)
29 {{/formula}}
30
31 Schritt 2: Zur einfacheren Rechnung tauschen wir Zeile II und III.
32 {{formula}}
33 \left(
34 \begin{array}{ccc|c}
35 1 & 1 & 1 & 6 \\
36 0 & 1 & -2 & -4 \\
37 0 & -3 & -1 & -9
38 \end{array}
39 \right)
40 {{/formula}}
41
42 Schritt 3: Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte. (Zeile III + 3*II)
43 {{formula}}
44 \left(
45 \begin{array}{ccc|c}
46 1 & 1 & 1 & 6 \\
47 0 & 1 & -2 & -4 \\
48 0 & 0 & -7 & -21
49 \end{array}
50 \right)
51 {{/formula}}
52
53 Rückwärtseinsetzen:
54 * Aus III: {{formula}}-7z = -21 \Rightarrow z = 3{{/formula}}
55 * Aus II: {{formula}}y - 2(3) = -4 \Rightarrow y - 6 = -4 \Rightarrow y = 2{{/formula}}
56 * Aus I: {{formula}}x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1{{/formula}}
57
58 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(1, 2, 3)\}{{/formula}}
59 )))
60 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
61 \begin{aligned}
62 x + y - z &= 1 \\
63 -x + 2y + z &= 2 \\
64 -x + 5y + z &= 5
65 \end{aligned}
66 {{/formula}}
67
68 Startmatrix:
69 {{formula}}
70 \left(
71 \begin{array}{ccc|c}
72 1 & 1 & -1 & 1 \\
73 -1 & 2 & 1 & 2 \\
74 -1 & 5 & 1 & 5
75 \end{array}
76 \right)
77 {{/formula}}
78
79 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II + I und Zeile III + I)
80 {{formula}}
81 \left(
82 \begin{array}{ccc|c}
83 1 & 1 & -1 & 1 \\
84 0 & 3 & 0 & 3 \\
85 0 & 6 & 0 & 6
86 \end{array}
87 \right)
88 {{/formula}}
89
90 Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - 2*II)
91 {{formula}}
92 \left(
93 \begin{array}{ccc|c}
94 1 & 1 & -1 & 1 \\
95 0 & 3 & 0 & 3 \\
96 0 & 0 & 0 & 0
97 \end{array}
98 \right)
99 {{/formula}}
100
101 Rückwärtseinsetzen:
102 * Die letzte Zeile ist eine Nullzeile ({{formula}}0 = 0{{/formula}}). Wir wählen {{formula}}z = t{{/formula}} als freien Parameter.
103 * Aus II: {{formula}}3y = 3 \Rightarrow y = 1{{/formula}}
104 * Aus I: {{formula}}x + 1 - t = 1 \Rightarrow x - t = 0 \Rightarrow x = t{{/formula}}
105
106 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(t, 1, t) \mid t \in \mathbb{R}\}{{/formula}}
107 )))
108 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
109 \begin{aligned}
110 x + y &= 3 \\
111 2x - y &= 3 \\
112 3x + y &= 7
113 \end{aligned}
114 {{/formula}}
115
116 Startmatrix:
117 {{formula}}
118 \left(
119 \begin{array}{cc|c}
120 1 & 1 & 3 \\
121 2 & -1 & 3 \\
122 3 & 1 & 7
123 \end{array}
124 \right)
125 {{/formula}}
126
127 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - 2*I und Zeile III - 3*I)
128 {{formula}}
129 \left(
130 \begin{array}{cc|c}
131 1 & 1 & 3 \\
132 0 & -3 & -3 \\
133 0 & -2 & -2
134 \end{array}
135 \right)
136 {{/formula}}
137
138 Schritt 2: Wir teilen Zeile II durch -3 und Zeile III durch -2, um es zu vereinfachen.
139 {{formula}}
140 \left(
141 \begin{array}{cc|c}
142 1 & 1 & 3 \\
143 0 & 1 & 1 \\
144 0 & 1 & 1
145 \end{array}
146 \right)
147 {{/formula}}
148
149 Schritt 3: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
150 {{formula}}
151 \left(
152 \begin{array}{cc|c}
153 1 & 1 & 3 \\
154 0 & 1 & 1 \\
155 0 & 0 & 0
156 \end{array}
157 \right)
158 {{/formula}}
159
160 Rückwärtseinsetzen:
161 * Aus II: {{formula}}y = 1{{/formula}}
162 * Aus I: {{formula}}x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2{{/formula}}
163
164 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{(2, 1)\}{{/formula}}
165 )))
166 1. ((((%style="vertical-align: top"%){{formula}}
167 \begin{aligned}
168 x + y + z &= 2 \\
169 x + 2y - z &= 3 \\
170 2x + 3y &= 10
171 \end{aligned}
172 {{/formula}}
173
174 Startmatrix:
175 {{formula}}
176 \left(
177 \begin{array}{ccc|c}
178 1 & 1 & 1 & 2 \\
179 1 & 2 & -1 & 3 \\
180 2 & 3 & 0 & 10
181 \end{array}
182 \right)
183 {{/formula}}
184
185 Schritt 1: Nullen in der ersten Spalte erzeugen. (Zeile II - I und Zeile III - 2*I)
186 {{formula}}
187 \left(
188 \begin{array}{ccc|c}
189 1 & 1 & 1 & 2 \\
190 0 & 1 & -2 & 1 \\
191 0 & 1 & -2 & 6
192 \end{array}
193 \right)
194 {{/formula}}
195
196 Schritt 2: Null in der zweiten Spalte erzeugen. (Zeile III - II)
197 {{formula}}
198 \left(
199 \begin{array}{ccc|c}
200 1 & 1 & 1 & 2 \\
201 0 & 1 & -2 & 1 \\
202 0 & 0 & 0 & 5
203 \end{array}
204 \right)
205 {{/formula}}
206
207 Auswertung:
208 * In der letzten Zeile steht {{formula}}0x + 0y + 0z = 5{{/formula}}, also {{formula}}0 = 5{{/formula}}. Das ist ein mathematischer Widerspruch. Das System hat somit keine Lösung.
209
210 * **Lösungsmenge:** {{formula}}L = \{\}{{/formula}}
211 )))