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Änderungen von Dokument BPE 8.1 Problemlösestrategie

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Übergeordnete Seite
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Dokument-Autor
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Inhalt
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1 -{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
2 -{{toc start=2 depth=2 /}}
3 -{{/box}}
1 +{{seiteninhalt/}}
4 4  
3 +
5 5  === Kompetenzen ===
6 -[[K?>>kompetenzen.K?]] Ich kann
5 +[[Kompetenzen.K2.]] Ich kann Problemlösestrategien zur Behandlung neuer und unbekannter Fragestellungen anwenden
6 +[[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eigenständig einen Lösungsplan entwickeln und umsetzen
7 +[[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K4]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann dafür geeignete Hilfsmittel anwenden
8 +[[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K4]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann geeignete Problemlösestrategien auswählen und anwenden
9 +[[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K1]], [[Kompetenzen.K6]] Ich kann über mein Vorgehen diskutieren und es reflektieren
10 +[[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K1]], [[Kompetenzen.K6]] Ich kann meine Gedanken dokumentieren
7 7  
8 -Bei der Behandlung neuer und unbekannter Fragestellungen lernen Schülerinnen und Schüler Problemlösestrategien kennen und wenden diese an. Dies erfolgt integrativ, über alle inhaltlichen Themenbereiche (Bildungsplaneinheiten) hinweg, sodass die Schülerinnen und Schüler sukzessive mit den Methoden mathematischen Problemlösens vertraut werden. Dazu werden Lerngelegenheiten mit offenen Aufgaben (Problemaufgaben) geschaffen, in denen die Schülerinnen und Schüler eigenständig einen Lösungsplan entwickeln und umsetzen. Sie verwenden dabei unterschiedliche Hilfsmittel und Problemlösestrategien. Sie reflektieren und diskutieren ihr Vorgehen und dokumentieren ihre Gedanken. Dadurch erhalten sie einen Einblick in das Wesen der Mathematik.
12 += Strategietraining =
9 9  
10 -= Gruppenpuzzle Problemlösen =
14 +== Strategie: Rückführungsprinzip ==
11 11  
12 -== Gruppe 1: Heuristisches Hilfsmittel: informative Figur ==
16 +=== Info Box: ===
17 +{{info}}
18 +Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes Problem und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form {{formula}}x^4+2x^2+1=0{{/formula}} mit Hilfe Substitution {{formula}} (x^2=z){{/formula}} auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen {{formula}} z^2+2z+1=0{{/formula}}, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.
19 +{{/info}}
13 13  
21 +
22 +=== Beispiel 1: Gedachte Zahlen ===
23 +
24 +Das Produkt zweier gedachter Zahlen ist 9897914.
25 +Der Quotient der beiden Zahlen ist 6,5.
26 +Bestimme die gesuchten Zahlen.
27 +
28 +
29 +=== Beispiel 2: Bruchgleichung, trigonometrische Gleichungen ===
30 +
31 +Bestimme alle Lösungen, der folgenden Gleichungen:
32 +
33 +
34 +a) {{formula}}2x+ \frac{2}{x}= 5{{/formula}}
35 +
36 +b) {{formula}}sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x)=0{{/formula}} im Intervall {{formula}} [0; 2π]{{/formula}}
37 +
38 +c) {{formula}}(〖cos⁡(x))〗^2=2 〖cos⁡(〗⁡〖x)〗-1{{/formula}} im Intervall {{formula}}[0; 2π]{{/formula}}
39 +
40 +
41 +
42 +
43 +
44 +== Hilfsmittel: Orientierung an konkreten Beispielen ==
45 +
14 14  === Info Box: ===
15 15  
16 -Bei vielen Aufgabenstellungen hilft es weiter, sich den Sachverhalt durch eine Skizze oder Zeichnung zu veranschaulichen. Diese Veranschaulichung macht es oft leichter das Problem der Aufgabenstellung zu verstehen und geeignete Ansätze zur Lösung zu finden.
17 -Dieses Hilfsmittel bezeichnet man als informative Figur.
48 +{{info}}
49 +Es gibt Aufgaben bei denen allgemeine Aussagen abgeleitet werden sollen oder Parameteraufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften auf diese Parameter zurückgeführt werden sollen.
50 +Bei solchen Aufgaben kann es nützlich sein, sich den Sachverhalt an mehreren konkreten Spezialfällen / Zahlenbeispielen übersichtlich aufzuschreiben bzw. zu veranschaulichen. Diese Beispiele können helfen, Muster zu erkennen, welche dann zur gesuchten Aussage führen können.
18 18  
19 -=== Arbeitsauftrag ===
52 +{{/info}}
20 20  
54 +=== Beispiel 1: Kubikzahlen ===
21 21  
22 -1) Lest euch die Info Box aufmerksam durch.
56 +Finde eine Formel, wie man die Summe der ersten n Kubikzahlen alternativ
57 +berechnen kann.
23 23  
24 -2) Nutzt diese Strategie zur Lösung der folgenden Beispielaufgaben.
59 +[[image:Kubikzahlen.PNG]]
25 25  
26 26  
27 -3) Überlegt euch, wie ihr euren Mitschülern dieses Hilfsmittel erklärt. Folgende Fragen können hier nützlich sein:
28 -• Was ist eine informative Figur?
29 -• Wie geht man beim Zeichnen vor?
30 -• Welche Fragen sind hilfreich?
62 +=== Beispiel 2: Nullstellen ===
63 +Welche Nullstellen besitzen die Tangenten an den Graphen der e-Funktion?
31 31  
32 -=== Beispiel 1: Busplätzerätsel ===
65 +== Strategie: Symmetrieprinzip ==
33 33  
34 -Noah stellt folgendes Rätsel: „ 33,3% der Plätze eines Busses sind von Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen eingenommen. 9 Plätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?
67 +=== Info Box: ===
68 +{{info}}
69 +Bei manchen Aufgaben ist es geschickt sich die Symmetrieeigenschaften z.B. Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie
70 +zunutze zu machen. Durch diese Eigenschaft lassen sich manchmal weitere Größen bzw. Merkmale gewinnen, die bei der Lösung der Aufgabe helfen können.
35 35  
36 -=== Beispiel 2: Eisenbahntunnel ===
72 +{{/info}}
37 37  
38 -Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
39 -Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, deren Schaubild die Form des Eisenbahntunnels beschreibt.
40 40  
75 +=== Beispiel 1: Symbole ergänzen ===
76 +Mit welchen zwei Symbolen geht die Reihe weiter?
41 41  
42 -== Gruppe 2: Strategie: Systematisches Probieren ==
78 +[[image:Symbole ergänzen.PNG]]
79 +=== Beispiel 2: Funktionsterme finden ===
43 43  
81 +a) Ermittle einen Funktionsterm, der zur y-Achse symmetrisch ist und die beiden einfachen Nullstellen bei x = 1 und x = 3 besitzt.
82 +b) Ermittle einen Funktionsterm, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist und eine doppelte Nullstelle bei x = 2 besitzt.
83 +
84 +
85 +== Strategie: Fallunterscheidung ==
86 +
44 44  === Info Box: ===
88 +{{info}}
89 +Bei manchen Aufgaben ist der Lösungsweg je nach Voraussetzung (Fall) unterschiedlich. Hier hilft es die Aufgabe für jede Voraussetzung bzw. jeden Fall einzeln zu lösen und die verschiedenen Lösungen im Anschluss zusammenzuführen. Diese Art der Lösung nennt man das Prinzip der Fallunterscheidung, da man die Aufgabe für jeden Fall einzeln betrachtet.
45 45  
91 +{{/info}}
92 +
93 +
94 +=== Beispiel 1: Wurzel ===
95 +Für welche Werte von x hat die folgende Wurzel zwei, eine oder keine Lösung.
96 + {{formula}}\pm\sqrt{x^2-6x+8}{{/formula}}
97 +
98 +
99 +=== Beispiel 2: Schnittpunkte ===
100 +
101 +Für welchen Wert von m hat das Schaubild der Funktion g mit
102 + {{formula}}g(x)=0,5x^4+x^3+x^2+mx+2{{/formula}} mit dem Schaubild der Funktion f mit
103 + {{formula}}f(x)=0,5x^4+x^3+1{{/formula}} zwei Schnittpunkt oder genau einen oder keinen Schnittpunkt.
104 +
105 +== Strategie: Zerlegungsprinzip ==
106 +
107 +=== Info Box: ===
46 46  {{info}}
47 -Es gibt Aufgaben, bei denen durch geschicktes Kombinieren der gegebenen Größen das gesuchte Ergebnis gefunden werden kann oder die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten gesucht ist. Bei solchen Aufgaben kann es zielführend sein, durch systematisches Ausprobieren das gesuchte Ergebnis zu ermitteln. Bei dieser Strategie ist es manchmal auch hilfreich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten mit Hilfe einer Tabelle übersichtlich darzustellen.
109 +Bei Aufgaben bzw. Problemen, die sehr umfangreich oder komplex sind, ist es manchmal günstig diese in kleinere Teilprobleme zu zerlegen und diese Teilprobleme dann einzeln zu bearbeiten. Im Anschluss können die Lösungen der Teilprobleme zu einer Lösung zusammengeführt werden.
48 48  {{/info}}
49 49  
50 -=== Arbeitsauftrag ===
51 51  
52 -1) Lies dir die Info Box aufmerksam durch.
113 +=== Beispiel 1: Teiler ===
114 +Bestimme alle Teiler der Zahl 3060.
53 53  
54 -2) Nutzt die beschriebene Strategie zur Lösung der folgenden Beispielaufgaben.
116 +=== Beispiel 2: Monstergleichung ===
117 +Berechne alle Lösungen der folgenden Gleichung:
118 +{{formula}}0=(e^{3x}-6e^{2x}+8e^x) ∙(x^5-6x^3+5x)∙sin⁡(x){{/formula}}
55 55  
56 56  
57 -3) Überlegt euch, wie ihr euren Mitschülern diese Strategie erklärt.
58 -Folgende Fragen können hier nützlich sein:
59 -• Was ist systematisches Probieren?
60 -• Wie geht man beim systematischen Probieren vor?
61 -• Welche Hilfsmittel gibt es?
121 +
122 +
123 +
124 +
Kubikzahlen.PNG
Author
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1 +XWiki.martinawagner
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Symbole ergänzen.PNG
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