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BPE 8.1 Problemlösestrategie

Version 48.1 von Martina Wagner am 2023/10/17 15:58
Inhalt

Kompetenzen

K2 Ich kann Problemlösestrategien zur Behandlung neuer und unbekannter Fragestellungen anwenden
K2 K4 K5 Ich kann eigenständig einen Lösungsplan entwickeln und umsetzen
K2 K4 K5 Ich kann dafür geeignete Hilfsmittel anwenden
K2 K4 K5 Ich kann geeignete Problemlösestrategien auswählen und anwenden
K2 K1 K6 Ich kann über mein Vorgehen diskutieren und es reflektieren
K2 K1 K6 Ich kann meine Gedanken dokumentieren

Strategietraining

Strategie: Rückführungsprinzip

Info Box:

Information

Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes Problem und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form  x^4+2x^2+1=0 mit Hilfe Substitution (x^2=z) auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen z^2+2z+1=0, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann. 

Beispiel 1: Gedachte Zahlen

Das Produkt zweier gedachter Zahlen ist 9897914.
Der Quotient der beiden Zahlen ist 6,5.
Bestimme die gesuchten Zahlen.

Beispiel 2: Bruchgleichung, trigonometrische Gleichungen

Bestimme alle Lösungen, der folgenden Gleichungen:

a) 2x+ \frac{2}{x}= 5

b) sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x)=0 im Intervall   [0; 2π]

c) (〖cos⁡(x))〗^2=2 〖cos⁡(〗⁡〖x)〗-1 im Intervall [0; 2π]

Hilfsmittel: Orientierung an konkreten Beispielen

Info Box:

Information

Es gibt Aufgaben bei denen allgemeine Aussagen abgeleitet werden sollen oder Parameteraufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften auf diese Parameter zurückgeführt werden sollen.
Bei solchen Aufgaben kann es nützlich sein, sich den Sachverhalt an mehreren konkreten Spezialfällen / Zahlenbeispielen übersichtlich aufzuschreiben bzw. zu veranschaulichen. Diese Beispiele können helfen, Muster zu erkennen, welche dann zur gesuchten Aussage führen können.

Beispiel 1: Kubikzahlen

Finde eine Formel, wie man die Summe der ersten n Kubikzahlen alternativ
berechnen kann.

Kubikzahlen.PNG

Beispiel 2: Nullstellen

Welche Nullstellen besitzen die Tangenten an den Graphen der e-Funktion? 

Strategie: Symmetrieprinzip

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Bei manchen Aufgaben ist es geschickt sich die Symmetrieeigenschaften z.B. Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie
zunutze zu machen. Durch diese Eigenschaft lassen sich manchmal weitere Größen bzw. Merkmale gewinnen, die bei der Lösung der Aufgabe helfen können.

Beispiel 1: Symbole ergänzen

Mit welchen zwei Symbolen geht die Reihe weiter?

Symbole ergänzen.PNG

Beispiel 2: Funktionsterme finden

a) Ermittle einen Funktionsterm, der zur y-Achse symmetrisch ist und die beiden einfachen Nullstellen bei x = 1 und x = 3 besitzt.
b) Ermittle einen Funktionsterm, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist und eine doppelte Nullstelle bei x = 2 besitzt.

Strategie: Fallunterscheidung

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Bei manchen Aufgaben ist der Lösungsweg je nach Voraussetzung (Fall) unterschiedlich. Hier hilft es die Aufgabe für jede Voraussetzung bzw. jeden Fall einzeln zu lösen und die verschiedenen Lösungen im Anschluss zusammenzuführen. Diese Art der Lösung nennt man das Prinzip der Fallunterscheidung, da man die Aufgabe für jeden Fall einzeln betrachtet.

Beispiel 1: Wurzel

Für welche Werte von x hat die folgende Wurzel zwei, eine oder keine Lösung.
\pm\sqrt{x^2-6x+8}

Beispiel 2: Schnittpunkte

Für welchen Wert von m hat das Schaubild der Funktion g mit
g(x)=0,5x^4+x^3+x^2+mx+2 mit dem Schaubild der Funktion f mit
f(x)=0,5x^4+x^3+1  zwei Schnittpunkt oder genau einen oder keinen Schnittpunkt.

Strategie: Zerlegungsprinzip

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Bei Aufgaben bzw. Problemen, die sehr umfangreich oder komplex sind, ist es manchmal günstig diese in kleinere Teilprobleme zu zerlegen und diese Teilprobleme dann einzeln zu bearbeiten. Im Anschluss können die Lösungen der Teilprobleme zu einer Lösung zusammengeführt werden.

Beispiel 1: Teiler

Bestimme alle Teiler der Zahl 3060.

Beispiel 2: Monstergleichung

Berechne alle Lösungen der folgenden Gleichung:
0=(e^{3x}-6e^{2x}+8e^x)\cdot(x^5-6x^3+5x)\cdotsin⁡(x)