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Version 1.2 von Holger Engels am 2023/10/30 13:21
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1 {{info}}
2 Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form {{formula}}x^4+2x^2+1=0{{/formula}} mit Hilfe Substitution {{formula}} (x^2=z){{/formula}} auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen {{formula}} z^2+2z+1=0{{/formula}}, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.
3 {{/info}}
4
5 (% style="list-style: alphastyle" %)
6 1. (((
7 {{formula}}
8 \begin{align*}
9 &\quad 2x + \frac{2}{x} &=&\: 5 & |\: \cdot x \\
10 \Leftrightarrow &\quad 2x^2 + 2 &=&\: 5x & \\
11 \Leftrightarrow &\quad 2x^2 - 5x + 2 &=&\: 0 & |\: MNF \\
12 \end{align*}
13 {{/formula}}
14
15 {{formula}}
16 \Rightarrow x_1 = 0,5;\: x_2 = 2
17 {{/formula}}
18 )))
19 1. (((
20 {{formula}}
21 \begin{align*}
22 &\quad sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x) &=&\: 0 \quad;\quad [0; 2π] \\
23 \Leftrightarrow &\quad sin(x) \cdot \left(1 + 2 cos(x) \right) &=&\: 0 \\
24 \end{align*}
25 {{/formula}}
26
27 {{formula}}
28 \Rightarrow sin(x) = 0 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=\pi;\quad x_3=2\pi
29 {{/formula}}
30
31 {{formula}}
32 \vee\: cos(x) = 0,5 \Rightarrow x_4=\frac{2}{3}\pi;\quad x_5=\frac{4}{3}\pi
33 {{/formula}}
34 )))
35 1. (((
36 {{formula}}
37 \begin{align*}
38 (cos⁡(x))^2=2 cos⁡(⁡x)-1 \quad;\quad [0; 2π]
39 \end{align*}
40 {{/formula}}
41 )))