Lösung Urne mit Kugeln befüllen (2)
Zuletzt geändert von Simone Schuetze am 2026/04/29 16:15
Ein Baumdiagramm war hier zwar nicht gefordert, hilft aber das Ziehen (ohne Zurücklegen) und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der unbekannten Anzahl an blauen Kugeln (x) darzustellen.
Wahrscheinlichkeiten
Zwei rote Kugeln:
\[P(rr)=\frac{x}{x+4}\cdot\frac{x-1}{x+3}=\frac{x(x-1)}{(x+4)(x+3)}\]
Zwei verschiedenfarbige Kugeln:
\[P(rb)+P(br)=\]
\[\frac{x}{x+4}\cdot\frac{4}{x+3}+\frac{4}{x+4}\cdot\frac{x}{x+3}\]
\[=\frac{4x}{(x+4)(x+3)}+\frac{4x}{(x+4)(x+3)}=\frac{8x}{(x+4)(x+3)}\]
Bedingung aufstellen
\[P(rr)=P(rb)+P(br)\]
\[\frac{x(x-1)}{(x+4)(x+3)}=\frac{8x}{(x+4)(x+3)}\]
Gleichung lösen
Beide Seiten werden mit \((x+4)(x+3)\) multipliziert:
\[x(x-1)=8x\]
\[x^2-x=8x\]
\[x^2-9x=0\]
\[x(x-9)=0\]
Lösung
\(x=9\) (da \(x=0\) nicht sinnvoll ist)
Es müssen 9 rote Kugeln in der Urne sein.