Lösung Faire Auszahlung gesucht
Version 3.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 11:42
a)
HinweisEin Baumdiagramm und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind nicht gefordert, können aber helfen, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse übersichtlich zu bestimmen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
| Ereignis | zwei rote Kugeln | eine rote und eine blaue Kugel | alle anderen Ergebnisse |
| Gewinn | \(4,€-1,€=3,€\) | \(2,€-1,€=1,€\) | \(0,€-1,€=-1,€\) |
| Wahrscheinlichkeit | \(\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\) | \(\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\) | \(1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\) |
Erwartungswert
\[E(X)=3\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}\]
\[E(X)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}=0{,}6\]
Begründung
Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht \(0\) ist.
Du gewinnst langfristig im Durchschnitt \(0{,}60,€\) pro Spiel.
b)
Sei \(a\) die neue Auszahlung bei zwei roten Kugeln.
Neue Wahrscheinlichkeitsverteilung
| Ereignis | zwei rote Kugeln | eine rote und eine blaue Kugel | alle anderen Ergebnisse |
| Gewinn | \(a-1\) | \(2,€-1,€=1,€\) | \(0,€-1,€=-1,€\) |
| Wahrscheinlichkeit | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) |
Bedingung für ein faires Spiel
\[E(X)=0\]
\[(a-1)\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}=0\]
Gleichung lösen
\[\frac{a-1}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0\]
\[\frac{a-1}{5}=0\]
\[a-1=0\]
\[a=1\]
Deutung
Die Auszahlung für „zwei rote Kugeln“ muss auf \(1,€\) geändert werden.
Dann ist der durchschnittliche Gewinn \(0,€\), also ist das Spiel fair.