Änderungen von Dokument Lösung Potenzgesetze – Struktur statt Ergebnis

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	(%class=ml%)
2		-=== ML zu a) ===
3		-Werte berechnen:
4		-1. {{formula}}2^3\cdot2^4=8\cdot16=128{{/formula}}
5		-1. {{formula}}2^7=128{{/formula}}
6		-1. {{formula}}2^3\cdot3^3=8\cdot27=216{{/formula}}
7		-1. {{formula}}(2\cdot3)^3=6^3=216{{/formula}}
8		-1. {{formula}}2^4\cdot3^3=16\cdot27=432{{/formula}}
9		-1. {{formula}}3^3\cdot2^3=27\cdot8=216{{/formula}}
	2	+**Musterlösung zu Teilaufgabe 1 (a): Alle Paare mit gleichem Wert finden**
10	10
11		-Zuordnung:
12		-* {{formula}}(1)=(2){{/formula}}
13		-* {{formula}}(3)=(4)=(6){{/formula}}
14		-* {{formula}}(5){{/formula}} hat keinen Partner.
	4	+Wir berechnen die Werte der Terme:
	5	+1. {{formula}}2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128{{/formula}}
	6	+2. {{formula}}2^7 = 128{{/formula}}
	7	+3. {{formula}}2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216{{/formula}}
	8	+4. {{formula}}(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216{{/formula}}
	9	+5. {{formula}}2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432{{/formula}}
	10	+6. {{formula}}3^3 \cdot 2^3 = 27 \cdot 8 = 216{{/formula}}
15	15
16		-=== ML zu b) ===
17		-Begründung ohne Ausrechnen (Potenzen als Produkte gleicher Faktoren):
	12	+**Zuordnung (gleicher Wert):**
	13	+- {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} haben den Wert {{formula}}128{{/formula}}.
	14	+- {{formula}}(3){{/formula}}, {{formula}}(4){{/formula}} und {{formula}}(6){{/formula}} haben den Wert {{formula}}216{{/formula}} (daraus lassen sich mehrere Paare bilden, z. B. {{formula}}(3)-(4){{/formula}}, {{formula}}(3)-(6){{/formula}}, {{formula}}(4)-(6){{/formula}}).
	15	+- {{formula}}(5){{/formula}} hat keinen Partner in der Liste (Wert {{formula}}432{{/formula}}).
18	18
19		-* {{formula}}2^3\cdot2^4=(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)=2^7{{/formula}}
	17	+(%class=ml%)
	18	+**Musterlösung zu Teilaufgabe 2 (b): Strukturbegründungen (ohne Ausrechnen)**
20	20
21		-* {{formula}}2^3\cdot3^3=(2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3)=(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)=(2\cdot3)^3{{/formula}}
	20	+Wir begründen Gleichheiten, indem wir Potenzen als Produkte gleicher Faktoren schreiben und Faktoren umordnen bzw. zusammenfassen.
22	22
23		-* {{formula}}2^3\cdot3^3=3^3\cdot2^3{{/formula}} (gleiche Faktoren, nur umgeordnet)
	22	+(%class=abc%)
	23	+1. **{{formula}}2^3 \cdot 2^4 = 2^7{{/formula}}**
24	24
25		-* {{formula}}(2\cdot3)^3=(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)=3^3\cdot2^3{{/formula}}
	25	+{{formula}}2^3 = 2\cdot2\cdot2{{/formula}} und {{formula}}2^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2{{/formula}}.
	26	+Dann gilt:
	27	+{{formula}}
	28	+2^3 \cdot 2^4
	29	+= (2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)
	30	+= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2
	31	+= 2^7.
	32	+{{/formula}}
26	26
27		-(%class=ml%)
28		-=== ML zu c) ===
29		-Es gibt genau **einen Term ohne Partner**: {{formula}}(5)\;2^4\cdot3^3{{/formula}}.
	34	+2. **{{formula}}2^3 \cdot 3^3 = (2\cdot3)^3{{/formula}}**
30	30
31		-Begründung (ohne Ausrechnen):
	36	+{{formula}}2^3 = 2\cdot2\cdot2{{/formula}} und {{formula}}3^3 = 3\cdot3\cdot3{{/formula}}.
	37	+Dann:
32	32	{{formula}}
33		-2^4\cdot3^3
34		-=(2\cdot2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3).
	39	+2^3\cdot3^3
	40	+= (2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3).
35	35	{{/formula}}
36		-Hier treten **vier Faktoren 2** und **drei Faktoren 3** auf.
37		-Damit gilt:
38		-* keine **gleiche Basis** (wie bei {{formula}}2^3\cdot2^4{{/formula}}),
39		-* kein **gleicher Exponent** (wie bei {{formula}}2^3\cdot3^3{{/formula}}).
	42	+Durch Umordnen der Faktoren können wir jeweils eine {{formula}}2{{/formula}} mit einer {{formula}}3{{/formula}} zusammenfassen:
	43	+{{formula}}
	44	+(2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3)
	45	+= (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)
	46	+= (2\cdot3)^3.
	47	+{{/formula}}
40	40
41		-Der Term lässt sich weder zu {{formula}}2^{\square}{{/formula}} noch zu {{formula}}(2\cdot3)^{\square}{{/formula}} zusammenfassen und passt daher zu keinem anderen Term der Liste.
	49	+3. **{{formula}}2^3 \cdot 3^3 = 3^3 \cdot 2^3{{/formula}}**
42	42
43		-=== ML zu d) ===
44		-Aussage des Schülers:
45		-*„Bei Potenzen darf man die Exponenten immer addieren.“*
	51	+{{formula}}2^3\cdot3^3{{/formula}} und {{formula}}3^3\cdot2^3{{/formula}} enthalten dieselben Faktoren (drei {{formula}}2{{/formula}}-Faktoren und drei {{formula}}3{{/formula}}-Faktoren), nur in anderer Reihenfolge.
	52	+Da man Faktoren beim Multiplizieren umordnen darf, gilt:
	53	+{{formula}}
	54	+2^3\cdot3^3 = 3^3\cdot2^3.
	55	+{{/formula}}
46	46
47		-**Fall, in dem die Aussage zutrifft:**
48		-{{formula}}2^3\cdot2^4=2^{3+4}{{/formula}}
49		-(Begründung: gleiche Basis → alle Faktoren sind Zweien.)
	57	+4. **{{formula}}(2\cdot3)^3 = 3^3 \cdot 2^3{{/formula}}**
50	50
51		-**Fall, in dem die Aussage falsch ist:**
52		-{{formula}}2^3\cdot3^3\neq2^{3+3}{{/formula}}
53		-(Begründung: links kommen Zweien **und** Dreien vor, rechts nur Zweien.)
	59	+{{formula}}(2\cdot3)^3 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3){{/formula}}.
	60	+Schreibt man das aus, erhält man drei {{formula}}2{{/formula}}-Faktoren und drei {{formula}}3{{/formula}}-Faktoren. Durch Umordnen kann man sie als {{formula}}3^3\cdot2^3{{/formula}} gruppieren:
	61	+{{formula}}
	62	+(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)
	63	+= (3\cdot3\cdot3)\cdot(2\cdot2\cdot2)
	64	+= 3^3\cdot2^3.
	65	+{{/formula}}
54	54
55		-**Korrektur der Aussage:**
56		-Exponenten dürfen **nur dann addiert werden, wenn die Basen gleich sind**.
57		-