Lösung Potenzgesetze – Struktur statt Ergebnis

Musterlösung zu Teilaufgabe 1 (a): Alle Paare mit gleichem Wert finden

Wir berechnen die Werte der Terme:

1. \(2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128\)
   2. \(2^7 = 128\)
   3. \(2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216\)
   4. \((2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\)
   5. \(2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432\)
   6. \(3^3 \cdot 2^3 = 27 \cdot 8 = 216\)

Zuordnung (gleicher Wert):
- \((1)\) und \((2)\) haben den Wert \(128\).
- \((3)\), \((4)\) und \((6)\) haben den Wert \(216\) (daraus lassen sich mehrere Paare bilden, z. B. \((3)-(4)\), \((3)-(6)\), \((4)-(6)\)).
- \((5)\) hat keinen Partner in der Liste (Wert \(432\)).

Musterlösung zu Teilaufgabe 2 (b): Strukturbegründungen (ohne Ausrechnen)

Wir begründen Gleichheiten, indem wir Potenzen als Produkte gleicher Faktoren schreiben und Faktoren umordnen bzw. zusammenfassen.

1. \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\)

\(2^3 = 2\cdot2\cdot2\) und \(2^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\).  
Dann gilt:
\(2^3 \cdot 2^4 = (2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^7.\)

2. \(2^3 \cdot 3^3 = (2\cdot3)^3\)

\(2^3 = 2\cdot2\cdot2\) und \(3^3 = 3\cdot3\cdot3\).  
Dann:
\(2^3\cdot3^3 = (2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3).\)
Durch Umordnen der Faktoren können wir jeweils eine \(2\) mit einer \(3\) zusammenfassen:
\((2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3) = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3) = (2\cdot3)^3.\)

3. \(2^3 \cdot 3^3 = 3^3 \cdot 2^3\)

\(2^3\cdot3^3\) und \(3^3\cdot2^3\) enthalten dieselben Faktoren (drei \(2\)-Faktoren und drei \(3\)-Faktoren), nur in anderer Reihenfolge.  
Da man Faktoren beim Multiplizieren umordnen darf, gilt:
\(2^3\cdot3^3 = 3^3\cdot2^3.\)

4. \((2\cdot3)^3 = 3^3 \cdot 2^3\)

\((2\cdot3)^3 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\).  
Schreibt man das aus, erhält man drei \(2\)-Faktoren und drei \(3\)-Faktoren. Durch Umordnen kann man sie als \(3^3\cdot2^3\) gruppieren:
\((2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3) = (3\cdot3\cdot3)\cdot(2\cdot2\cdot2) = 3^3\cdot2^3.\)