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Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/02/02 16:12
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1 (%class=ml%)
2 **Musterlösung zu Teilaufgabe 1 (a): Alle Paare mit gleichem Wert finden**
3
4 Wir berechnen die Werte der Terme:
5 1. {{formula}}2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128{{/formula}}
6 2. {{formula}}2^7 = 128{{/formula}}
7 3. {{formula}}2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216{{/formula}}
8 4. {{formula}}(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216{{/formula}}
9 5. {{formula}}2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432{{/formula}}
10 6. {{formula}}3^3 \cdot 2^3 = 27 \cdot 8 = 216{{/formula}}
11
12 **Zuordnung (gleicher Wert):**
13 - {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} haben den Wert {{formula}}128{{/formula}}.
14 - {{formula}}(3){{/formula}}, {{formula}}(4){{/formula}} und {{formula}}(6){{/formula}} haben den Wert {{formula}}216{{/formula}} (daraus lassen sich mehrere Paare bilden, z. B. {{formula}}(3)-(4){{/formula}}, {{formula}}(3)-(6){{/formula}}, {{formula}}(4)-(6){{/formula}}).
15 - {{formula}}(5){{/formula}} hat keinen Partner in der Liste (Wert {{formula}}432{{/formula}}).
16
17 (%class=ml%)
18 **Musterlösung zu Teilaufgabe 2 (b): Strukturbegründungen (ohne Ausrechnen)**
19
20 Wir begründen Gleichheiten, indem wir Potenzen als Produkte gleicher Faktoren schreiben und Faktoren umordnen bzw. zusammenfassen.
21
22 (%class=abc%)
23 1. **{{formula}}2^3 \cdot 2^4 = 2^7{{/formula}}**
24
25 {{formula}}2^3 = 2\cdot2\cdot2{{/formula}} und {{formula}}2^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2{{/formula}}.
26 Dann gilt:
27 {{formula}}
28 2^3 \cdot 2^4
29 = (2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)
30 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2
31 = 2^7.
32 {{/formula}}
33
34 2. **{{formula}}2^3 \cdot 3^3 = (2\cdot3)^3{{/formula}}**
35
36 {{formula}}2^3 = 2\cdot2\cdot2{{/formula}} und {{formula}}3^3 = 3\cdot3\cdot3{{/formula}}.
37 Dann:
38 {{formula}}
39 2^3\cdot3^3
40 = (2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3).
41 {{/formula}}
42 Durch Umordnen der Faktoren können wir jeweils eine {{formula}}2{{/formula}} mit einer {{formula}}3{{/formula}} zusammenfassen:
43 {{formula}}
44 (2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3)
45 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)
46 = (2\cdot3)^3.
47 {{/formula}}
48
49 3. **{{formula}}2^3 \cdot 3^3 = 3^3 \cdot 2^3{{/formula}}**
50
51 {{formula}}2^3\cdot3^3{{/formula}} und {{formula}}3^3\cdot2^3{{/formula}} enthalten dieselben Faktoren (drei {{formula}}2{{/formula}}-Faktoren und drei {{formula}}3{{/formula}}-Faktoren), nur in anderer Reihenfolge.
52 Da man Faktoren beim Multiplizieren umordnen darf, gilt:
53 {{formula}}
54 2^3\cdot3^3 = 3^3\cdot2^3.
55 {{/formula}}
56
57 4. **{{formula}}(2\cdot3)^3 = 3^3 \cdot 2^3{{/formula}}**
58
59 {{formula}}(2\cdot3)^3 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3){{/formula}}.
60 Schreibt man das aus, erhält man drei {{formula}}2{{/formula}}-Faktoren und drei {{formula}}3{{/formula}}-Faktoren. Durch Umordnen kann man sie als {{formula}}3^3\cdot2^3{{/formula}} gruppieren:
61 {{formula}}
62 (2\cdot3)\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)
63 = (3\cdot3\cdot3)\cdot(2\cdot2\cdot2)
64 = 3^3\cdot2^3.
65 {{/formula}}